2014年职高数学第一轮复习直线和圆的复习

圆的方程和直线与圆的位置关系学习目标1熟练掌握圆的标准方程和一般方程2掌握直线与圆的位置关系判断方法3掌握圆的切线方程求法4掌握弦长公式、切线长公式圆的方程复习1、圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r22、圆的一般方程022FEyDxyx0422FED()2DE圆心，-2特例：x2+y2=r222142DEF半径的长为:r=例1求以点C(−2，0)为圆心，r=3为半径的圆的标准方程．解因为2,0,3abr,故所求圆的标准方程为22(2)9xy．例2写出圆22(2)(1)5xy的圆心的坐标及半径．解方程22(2)(1)5xy可化为222(2)(1)(5)xy所以2,1,5abr(2,1)C5r．故，圆心的坐标为，半径为使用公式求圆心的坐标时，要注意公式中两个括号内都是“－”号．8．4圆例3：根据下面所给的条件，分别求出圆的方程：⑴以点(−2，5)为圆心，并且过点(3，−7)；(2)设点A(4，3)、B(6，−1)，以线段AB为直径；(3)过点P(－2，4)、Q(0，2)，并且圆心在x+y=0上；解⑴由于点（−2，5）与点（3，−）间的距离就是半径，所以半径为22(32)(75)13r故所求方程为22(2)(5)169xy．分析根据已知条件求出圆心的坐标和半径，从而确定字母系数a、b、r，得到圆的标准方程．这是求圆的方程的常用方法．(4)求过三点A(0,0),B(2,4),C(3,1)的圆的方程并求出这个圆的半径圆心坐标8．4圆例3根据下面所给的条件，分别求出圆的方程：⑴以点(−2，5)为圆心，并且过点(3，−7)；(2)设点A(4，3)、B(6，−1)，以线段AB为直径；(3)过点P(−2，4)、Q(0，2)，并且圆心在x+y=0上；⑵设所求圆的圆心为C，则C为线段AB的中点，半径为线段AB的长度的一半，即4631,22C，即2211(46)(31)20522r故所求圆的方程为22(5)(1)5xy．例3根据下面所给的条件，分别求出圆的方程：⑴以点(−2，5)为圆心，并且过点(3，−7)；(2)设点A(4，3)、B(6，−1)，以线段AB为直径；(3)过点P(−2，4)、Q(0，2)，并且圆心在x+y=0上；0xy00(,)Cxx⑶由于圆心在直线上，故设圆心为，于是有CPCQ，22220000(2)(4)(0)(2)xxxx，02x解得因此，圆心为(－2，2)．半径为22(20)(22)2r，故所求方程为22(2)(2)4xy．2222220,,02420:2,4,03102401(2)(4)52yDxEyFABCFDEFDEFDEFyxy(4)解:设所求圆的方程为x因为三点都在圆上,所以它们的坐标都满足圆的方程,将它们依次代入,得解得所求圆的方程是:x半径r==,圆心为(1,2)(4)求过三点A(0,0),B(2,4),C(3,1)的圆的方程并求出这个圆的半径圆心坐标例4：判断方程224630xyxy是否为圆的方程，如果是，求出圆心的坐标和半径．解1将原方程左边配方，有22222242263330xxyy222(2)(3)4xy所以方程表示圆心为(−2，3)，半径为4的一个圆．解2与圆的一般方程相比较，知D=4,E=−6,F=−3,故22416364(3)640DEF所以方程为圆的一般方程，由2242,3,4222DEDEF知圆心坐标为(−2，3)，半径为4．2252.68703.(6,1)4.(2,1),(1,4),(3,4),5.(2,3),(4,5)xyxyMABCABCABAB练习:1.圆心在点P(-3,4),半径为的圆的方程求的圆心坐标与半径经过点P(-3,4),圆心在点的圆的方程求已知点求的外接圆的方程求以为直径,其中的圆的方程答案22222222(4)52.(3,4),423.(1)1064.41305.(4)10yryxyxy1.(x+3)圆心坐标为半径(x-6)(x+1)直线与圆的方程的应用X-----------习题课1、直线和圆相离rd02、直线和圆相切rd3、直线和圆相交rd002C2C2C直线与圆的位置关系图形圆心到直线距离d与圆半径r之间关系几何方法代数方法无交点时有一个交点时有两个交点时值情况方法一：几何法直线：Ax+By+C=0;圆:(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心（a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=直线与圆的位置关系：方法二：判别式法直线：Ax+By+C=0;圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0一元二次方程直线与圆位置关系的判定______7)1(04222的位置关系和圆判断直线yxyx灵活应用:对任意实数k,圆C:x2+y2-6x-8y+12=0与直线L:kx-y-4k+3=0的位置关系是()A相交B相切C相离D与k值有关A相离典型例题122420yxy练习:直线y-2x+5=0与圆x之间的位置关系为()A.相切B.相离C.相交但直线过圆心D.相交但直线不过圆心222420(2,1)|415|021yxydC解:圆x的圆心坐标为它到直线2x-y-5=0的距离为所以圆心在直线上,即直线与圆相交且过圆心故答案为229,y例6:k为何值时,直线y=kx+4与圆x相交相切,相离22222222224499(4)9,)870(8)4()74(37)(37)77337377,,33ykxykxxyxyxkxxkxkkk解:解方程组将代入得整理得(1+k1+k故当k或k-时,0,直线与圆相交;当k=时,0,直线与圆相切;当k时0直线与圆相离与弦或弦长相关的问题1、用几何方法解有关弦长问题:1个重要的直角三角形①涉及圆的弦长时：·ABCD特例：2221(||)2rdAB2.用代数方法求弦长问题：※直线y=kx+b与圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于A、BAB=√(x2-x1)2+(y2-y1)2=√1+K2√(x1+x2)2-4x1x2=√1+K2x1-x2·ABOD22:(1)5,:10(1),17CxylmxymmRllAB2.已知圆直线证明：对直线与圆C总有两个不同的交点；（2）设直线与圆C交于A,B两点，若=求m的值22(1)510xymxym（1）由得2222)250*mxmxm(1+422244(1)(5)1620mmmm则,0mR总有因此所证命题成立解法1：代数方法圆的弦长ABl解法2:(1)由圆方程可知，圆心为（0，1），半径为r=则圆心到直线l的距离为222211111mmdmmm,5mR总有d因此所证命题成立rd几何方法lAB22:(1)5,:10(1),17CxylmxymmRllAB2.已知圆直线证明：对直线与圆C总有两个不同的交点；（2）设直线与圆C交于A,B两点，若=求m的值5(2)由平面解析几何的垂径定理可知22217335,4414mdm即2333mmm得则的值为22217()2rdrdlAB22:(1)5,:10(1),17CxylmxymmRllAB2.已知圆直线证明：对直线与圆C总有两个不同的交点；（2）设直线与圆C交于A,B两点，若=求m的值22205mxymxy为何值时，直线与圆（1）无公共点；（2）截得弦长为2；(1)(0,0),5,Or由已知，圆心为半径解：2220,2(1)5mmxymd圆心到直线的距离55mm或,55mdr因为直线与圆无公共点，即55mm故当或时，直线与圆无公共点。25m故当时，直线被圆截得的弦长为222221,51255mrdm即得（2）如图，有平面几何垂径定理知变式演练1rrrrd2练习:1.以点(1,1)为圆心且截直线y=x-4所得弦长为2的圆的方程rd22102260xyxyxy例:求直线被圆所截得的线段中点坐标112222212121212,)10122602270212(1)(1)2()111,)22yxyxyxyxyyyyyy解设直线与圆的两交点分别为A(x,y),B(x由得把它代入方程得yxxyy所求中点坐标为(有关圆的切线问题圆的切线方程求法：通过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2（过圆上一点能作一条且只能作一条直线与圆相切）通过圆外一点(x0,y0)的切线方程若斜率存在可设为y-y0=k(x-x0)已知圆的切线方程的斜率K时，切线方程可设为：y=Kx+b求K或b的途径：△=0或d=r（过圆外一点能作两条直线与圆相切）1、1个重要的直角三角形：②涉及圆的切线长时：·MPC特例：（1）几何法：设切线的方程为：y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线斜率即可求出。（2）代数法：设切线的方程为：y-y0=k(x-x0),代入圆方程得一个关于x的一元二次方程，由.0求过圆外一点的（x0,y0）的切线方程：(若斜率不存在或斜率为0,则可以直接判定过定点的直线是否与圆相切,进而确定k的取值.)求K直线与圆相切问题22(1).(3,4)25xy例3、求经过点与圆相切的切线方程224(1,3)______yM练习:过圆x上一点的切线方程为例4：已知圆C和直线x-y=0相切，圆心坐标为（1，3），则圆C的方程为_______分析：知道圆心坐标，只要求出半径即可。据题意，半径为圆心到直线的距离。2225y例5:如果直线y=x+b与圆x相切,则b的值为____相切的直线的方程平行且与圆求与直线8)3()2(222yxxy直线与圆的位置关系例6直线l过点(2,2)且与圆x2+y2-2x=0相切,求直线l的方程.22Oxy(2,2)(2)当k不存在时，过(2,2)的直线x=2也与圆相切。解(1)当直线的斜率存在时，设直线l的方程y-2=k（x-2），所以kx-y+2-2k=0由已知得圆心的坐标为（1，0），半径r=1因为直线l与圆相切，所以有：1121220122kkkkykd解得：所以直线方程为：)2(432xy43k0分析:点M在圆外,而过圆外一点求圆的切线方程应该有两条,如果解方程只有一条则另一条切线的倾斜角为90其斜率不存在应把它找回即：3x-4y+2=0综上所求直线方程为3x-4y+2=0或x=2练习：222.(1,7)25xy（）求经过点与圆相切的切线方程并求切线长·MPC(2,1),12Axyyx求经过和直线相切，且圆心在直线上的圆的方程。222)()(rbyax解：设圆的方程为上圆心在直线xy2)1(2ab)1,2(A又经过点)2()1()2(222rba相切因为圆与直线1yx)3(2|1|rba2,2,1)3)(2)(1(rba得：由2)2()1(22yx所求圆的方程是变式演练+求经过A（2，-1）与直线x+y=1相切且圆心在直线y=-2x上的圆的方程22221.(3)(4)4_______2.443120___xyOxyxy圆上的点到原点的最短距离为圆上的点到直线的最大距离（1）圆上的点到圆外的点的最大或最小的距离（2）圆上的点到直线的最大或最小距离