二次函数中考专题复习

1二次函数专题复习专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2ba，顶点坐标是（-2ba，244acba）.例1已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5yx与二次函数22yxxc的图像交于点(1)Am，．（1）求m、c的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.分析：要求m的值只要将点A（-1，m）的坐标代入y=5x即可.要求c的值，则只要把点A的坐标代入y=-x2+2x+c即可.求二次函数图象的对称轴和顶点坐标，可以直接代入计算公式，也可以利用配方法进行计算.解答：（1）把x=1，y=m代入y=5x，得m=-5，所以点A的坐标为（-1，-5）.把x=-1，y=-5代入y=-x2+2x+c，得c=-2.（2）因为y=-x2+2x-2=-（x-1）2-1，所以二次函数的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，-1）.点评：本题主要涉及二次函数图象的对称轴和顶点坐标的计算，解决问题的方法有两种，可根据表达式的特点灵活选择计算方法.考点2.抛物线与a、b、c的关系抛物线y=ax2+bx+c中，当a0时，开口向上，在对称轴x=-2ba的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a0时，开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.例2已知2yaxbx的图象如图1所示，则yaxb的图象一定过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限yxO图12C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限分析：通过观察图象可以知道a喝b的符号，从而可以判断出y=ax-b的图象一定过的象限.解：由图，可知a0，又由对称轴，可知-2ba0，∴b0.∴y=ax-b的图象一定经过第二、三、四象限.∴应选C.点评：求解本题时，一定要认真分析题目提供的图象，从图像中捕捉对求解有用的信息.考点3.二次函数的平移当k0（k0）时，抛物线y=ax2+k（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h0（h0）时，抛物线y=a（x-h）2（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3把抛物线y=3x2向上平移2个单位，得到的抛物线是（）A.y=3（x+2）2B.y=3（x-2）2C.y=3x2+2D.y=3x2-2分析：因为将抛物线向上平移，表明抛物线沿y轴向上.解：把抛物线y=3x2向上平移2个单位，∴平移后的抛物线的表达式应为y=3x2+2.∴应选C.点评：抛物线在左边平面内实施平移变换，其位置发生了改变，但其形状和开口不变，即a不变.专题练习一1.对于抛物线y=13x2+103x163，下列说法正确的是（）A.开口向下，顶点坐标为（5，3）B.开口向上，顶点坐标为（5，3）C.开口向下，顶点坐标为（-5，3）D.开口向上，顶点坐标为（-5，3）2.若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（）A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴是x=1C.当x=1时，y的最大值为-4D.抛物线与x轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位长度，再图221012yx13x3向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2yaxbxc的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c；②0abc；③0abc；④230ab；⑤40cb，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为（不要求写出自变量x的取值范围）．分析：依题意利用图形的面积公式求解.解：依题意AD=12（30-x），所以由长方形的面积公式得y=x×12（30-x）=-12x2+15x.点评：本题主要考查从实际问题中建立函数模型求二次函数表达式，这里应注意30米的篱笆只需围三个面，另一面靠墙，不需要篱笆.考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）；3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.例2已知抛物线的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5），求该抛物线的表达式.分析：可用顶点式求解.解：设抛物线的表达式为y=a（x+1）2+4，因为抛物线经过B（2，-5），所以-5=a（2+1）2+4，即a=-1.所以抛物线的表达式为y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3.点评：求抛物线的表达式的常用方法是待定系数法.给定的条件不同，所设的表达式的形式也不一样.例3已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）.ABCD图1菜园墙4（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.分析：由于该抛物线经过三点，故可用一般式求解，又该抛物线与x轴的两个交点已知，所以也可以用交点式求解.解：（1）设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）.由题意，得,824,0,024cbacbacba解得.4,2,2cba所以抛物线的解析式为.4222xxy（2）因为4222xxy=229)21(2x，所以抛物线的顶点坐标为).29,21(点评：用“待定系数法”求抛物线的表达式是最基本、最重要的方法之一，同学们一定要牢固掌握，同时，要灵活运用二次函数的三种表达式，如本题选用交点式)(1xxay)(2xx也较方便.专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数表达式为（）A.y=2a（x-1）B.y=2a（1-x）C.y=a（1-x2）D.y=a（1-x）22.如图2，在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO=12，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是．3.对称轴平行于y轴的抛物线与y轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1，求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A，，(23)B，，(10)C，．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最．少．平移个单位，使得该图象的图25顶点在原点．专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况.例1根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c,为常数）的一个解x的范围是（）x6.176.186.196.202yaxbxc0.030.010.020.04Ａ．66.17xＢ．6.176.18xＣ．6.186.19xＤ．6.196.20x分析：本题用表格的形式提供了部分信息，对函数、方程之间的关系进行针对性的考查，即方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c,为常数）的解就是函数y=ax2+bx+c值为零时对应的自变量x的取值.解：由于x轴上表示实数的点是连续的，因此，可以估计方程的解必然在某负数函数值与某正数函数值之间，故由表格提供的数据可选择C.点评：本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，解决问题的思路是通过表格观察函数值在什么范围内由负数变为正数，这个服务就是对应的方程的根的范围.考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.例2已知二次函数y=-x2+3x+m的部分图象如图1所示，则关于x的一元二次方程-x2+3x+m=0的解为________.分析：二次函数y=-x2+3x+m的图象与x轴的角度的横坐标即为方程-x2+3x+m=0的根.观察图象，可知图象与x轴的一个交点为（4，0），且对称轴为x=32，根据图象与x轴两个交yxO324图16点关于对称轴x=32对称，所以另一个交点的坐标为（-1，0），由此可得到方程的两个根.解：因为y=-x2+3x+m与x轴的一个交点为（4，0），且图象的对称轴为x=32，所以图象与x轴的另一个交点为（-1，0）.所以方程-x2+3x+m=0的两根为x1=-1，x2=32.点评：本题已知图象的一部分，求相应方程的根，解决问题的关键是根据图象与x轴两个交点关于对称轴对称，求到图象与x轴交点的坐标.考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3在平面直角坐标系中，抛物线21yx与x轴的交点的个数是（）A.3B.2C.1D.0分析：要求与x轴的交点个数，可转化为一元二次方程根的情况来解决.解：由题意得当y=0时，即为x2-1=0，∵b2-4ac=40，∴x2-1=0有两个不相等的实数根，∴抛物线与x轴有两个交点.故选B.点评：二次函数中，当涉及到图象与坐标轴的交点时，注意要考虑与一元二次方程的联系.专项练习三1.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是________.2.已知二次函数22yxxm的部分图象如图2所示，则关于x的一元二次方程220xxm的解为．3.已知函数2yaxbxc的图象如图3所示，那么关于x的方程220axbxc的根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等实数根yxO13图2图3xy037C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4.二次函数2(0)yaxbxca的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20axbxc的两个根．（2）写出不等式20axbxc的解集．（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．（4）若方程2axbxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围．专题四：利用二次函数解决实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它