五年高考荟萃 第十二章 概率与统计(09年9月最新更新)

第十二章概率与统计第一部分五年高考荟萃2009年高考题一、选择题1.（09山东11）在区间1,1上随机取一个数x,cos2x的值介于0到12之间的概率为（）A．13B．2C．12D．23【解析】在区间[-1，1]上随机取一个数x,即[1,1]x时,要使cos2x的值介于0到21之间,需使223x或322x∴213x或213x，区间长度为32，由几何概型知cos2x的值介于0到21之间的概率为31232.故选A.答案A2.(09山东文)在区间[,]22上随机取一个数x，cosx的值介于0到21之间的概率为().A.31B.2C.21D.32【解析】在区间[,]22上随机取一个数x,即[,]22x时,要使cosx的值介于0到21之间,需使23x或32x，区间长度为3，由几何概型知cosx的值介于0到21之间的概率为313.故选A.答案A3.（09安徽卷理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．175B．275C．375D．475【解析】如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这ABCDEF6个点中任意选两个点连成直线，共有22661515225CC种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有//,//,//,ACDBADCBAEBF//,//,//AFBECEFDCFED共12对，所以所求概率为12422575p，选D答案D４.（2009安徽卷文）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（）A.1B.C.D.0【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有36C个.由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为1，选A。答案A5、（2009江西卷文）甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（）A．16B．14C．13D．12【解析】所有可能的比赛分组情况共有22424122!CC种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，故选D.答案D6.（2009江西卷理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（）A．3181B．3381C．4881D．5081【解析】5553(323)50381P故选D答案D7.（2009四川卷文）设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝618.0215，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是（）A.甲批次的总体平均数与标准值更接近B.乙批次的总体平均数与标准值更接近C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【解析】甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613答案A8.（2009辽宁卷文）ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．4B．14C．8D．18【解析】长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为2因此取到的点到O的距离小于1的概率为2÷2＝4取到的点到O的距离大于1的概率为14答案B９.（2009年上海卷理）若事件E与F相互独立，且14PEPF，则PEFI的值等于（）A．0B．116C．14D．12【解析】PEFI＝1144PEPF＝116答案B二、填空题10.（2009广东卷理）已知离散型随机变量X的分布列如右表．若0EX，1DX，则a，b．【解析】由题知1211cba，061ca，1121211222ca，解得125a，41b.答案11.（2009安徽卷理）若随机变量2~(,)XN，则()PX=________.答案1212.（2009安徽卷文）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况:2、3、4或3、4、5或2、4、5，故34334PC=0.75.答案0.7513.（2009江苏卷）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为.【解析】考查等可能事件的概率知识。从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。答案0.214.（2009江苏卷）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为2s=.【解析】考查统计中的平均值与方差的运算。甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差222222(67)00(87)0255s答案15.（2009湖北卷文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是。【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为1-0.24=0.76答案0.240.7616.（2009福建卷文）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为。【解析】如图可设1AB,则1AB,根据几何概率可知其整体事件是其周长3，则其概率是23。答案2317．（2009重庆卷文）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125124121123127则该样本标准差s（克）（用数字作答）．【解析】因为样本平均数1(125124121123127)1245x，则样本方差2222221(1313)4,5sO所以2s答案2三、解答题18、（2009浙江卷理）（本题满分14分）在1,2,3,,9这9个自然数中，任取3个数．（I）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；（II）设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时的值是2）．求随机变量的分布列及其数学期望E．解（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则12453910()21CCPAC；（II）随机变量的取值为0,1,2,的分布列为012P51212112所以的数学期望为5112012122123E19、（2009北京卷文）（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.解（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为11141133327PA.（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到k次红灯的事件0,1,2kBk.则由题意，得40216381PB，132212142412321224,33813381PBCPBC.由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，∴事件B的概率为01289PBPBPBPB.20、（2009北京卷理）（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.解（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为11141133327PA.（Ⅱ）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.事件“2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k0，1，2，3，4），∴441220,1,2,3,433kkkPkCk，∴即的分布列是02468P16813281827881181∴的期望是163288180246881812781813E.21、(2009山东卷理)(本小题满分12分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为02345p0.03P1P2P3P4（1）求q2的值；（2）求随机变量的数学期望E;（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。解（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,()0.75PA,P(B)=q2,2()1PBq.根据分布列知:=0时22()()()()0.75(1)PABBPAPBPBq=0.03,所以210.2q，q2=0.8.（2）当=2时,P1=)()()(BBAPBBAPBBABBAP)()()()()()(BPBPAPBPBPAP=0.75q2(21q)×2=1.5q2(21q)=0.24当=3时,P2=22()()()()0.25(1)PABBPAPBPBq=0.01,当=4时,P3=22()()()()0.75PABBPAPBPBq=0.48,当=5时,P4=()()()PABBABPABBPAB222()()()()()0.25(1)0.25PAPBPBPAPBqqq=0.24所以随机变量的分布列为02345p0.030.240.010.480.24随机变量的数学期望00.0320.2430.0140.4850.243.63E（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为()PBBBBBBBB()()()PBBBPBBBPBB222222(1)0.896qqq;该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.22、（2009安徽卷理）（本小题满分12分）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A