第12章 压杆稳定

第12章压杆稳定12–1压杆稳定的概念一、工程背景工程中存在着许多受压杆件。对于相对细长的压杆，其破坏并非由于强度不足，而是由于荷载（压力）增大到一定数值后，不能保持原有直线平衡状态而失效。活塞杆在油缸中运动，使铲臂上下移动，当活塞杆受力比较大或活塞杆比较细时，有可能使直线的平衡构形变成弯曲的平衡构形，从而不能实现上下动作。一、工程背景自动翻斗车中的活塞杆也有类似的问题。如图示塔吊，立柱承受压力，当压力过大时，立柱也有可能从直线的平衡构形变成弯曲的平衡构形。除此之外，组成塔吊的桁架中受压力的杆子也可能从直线的平衡构形变成弯曲的平衡构形，也就是稳定性问题。一、工程背景如图自动升降工作台，受压的杆子就存在弹性稳定问题。如图示紧凑型超高压输电线路相间绝缘间隔棒，当它受压从直线的平衡构形变成弯曲的平衡构形时是否一定丧失正常功能呢？这需要经过实验确定，观察在不同的力的作用下弯曲到什么程度。一、工程背景工程构件稳定性实验压杆稳定性实验脚手架，当整体承受压力过大时，有可能从直线的平衡构形变成弯曲的平衡构形，导致坍塌。另外，组成脚手架中的受压杆件也有可能从直线平衡构形变成弯曲的平衡构形，造成整个脚手架坍塌。一、工程背景1907年8月29日，加拿大圣劳伦斯河上一座长为548m的魁北克(Quebec)钢大桥，在施工中因桁架失稳而突然倒塌。74人坠河遇难，桥下1人（逃开），水中救起1人，河对岸1人。俄莫兹尔大桥在试车时桁架发生倒塌。美国华盛顿镍克尔卜克尔剧院在一场暴风雪中，屋盖结构失稳。一、压杆的两类力学模型1.小偏心压杆与初弯曲压杆2.轴心受压直杆二、三种平衡状态1.刚体平衡的稳定性(1)稳定平衡：系统处于平衡状态。若对于离开平衡位置的微小位移，将出现使系统回复到原有平衡位置的恢复力，则称系统原有的平衡状态是稳定的。决定因素：就在于偏离平衡位置时，是否有恢复力。(2)不稳定平衡：系统处于平衡状态。若稍离平衡位置，将出现使系统不再回复到原有平衡位置(或进一步偏离平衡位置)的倾覆力，则称系统原有的平衡状态是不稳定的。(3)临界平衡：系统处于平衡状态，如有微小干扰，物体离开平衡位置，但除去干扰后，物体不能恢复原来的平衡状态，而在新的位置保持平衡，则物体在原来的平衡状态称为临界平衡状态。不稳定平衡稳定平衡随遇平衡(临界平衡)2.弹性平衡的稳定性(1)稳定平衡：系统处于平衡形态。若对原有平衡形态有微小的位移，其弹性回复力(或力矩)使系统回复原有的平衡形态，则称系统原有的平衡形态是稳定的。如图，当2kxLPx时，杆AB的铅垂平衡形态是稳定的。(2)不稳定平衡:系统处于平衡形态。若有微小位移，其弹性回复力(或力矩)使系统不再回复原有的平衡形态，则称系统原有的平衡形态是不稳定的。如图,2kxLPx时，杆AB原有的铅垂平衡形态是不稳定的。3.弹性平衡稳定性的特征(1)弹性平衡稳定性是对于原来的平衡形态而言的。(2)弹性平衡的稳定性取决杆件所受的压力值稳定平衡P＜2kL不稳定平衡P＞2kL(3)弹性平衡的稳定性与弹性元件的弹簧常数k和杆件的长度L有关。(4)研究弹性平衡的稳定性，需对结构变形后的形态进行分析。三、弹性平衡稳定的计算方法1.小挠度理论：优点是可以用较简单的方法得到基本正确的结论，曲率采用近似公式。1/2.大挠度理论：曲率采用精确公式。231(1)四、压杆两类弹性失稳问题1.分支点失稳——质变失稳(1)理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。(2)理想弹性压杆的稳定性直线平衡构形d弯曲平衡构形1)压杆的两种平衡构形：FPFPcr:直线平衡构形FPFPcr:弯曲平衡构形(在扰动作用下)在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，能够恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形是稳定的。在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，不能恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形是不稳定的。2)弹性压杆是临界的平衡FP=FPcr:压杆可在直线位置平衡(当它不受干扰时)，又可在干扰给予的微弯曲线位置平衡，这种两可性是弹性体系的临界平衡的重要特点。(3)平衡路径与平衡路径分叉直线平衡构形dFPFPcr一种平衡路径FPFPcrd(4)分叉点失稳d分叉点——两条平衡路径的交点B。分叉点失稳——分叉点处原始平衡路径与新的平衡路径同时存在，出现平衡形式的二重性，这种失稳形式称为分叉点失稳。临界载荷——分叉点对应的载荷。用FPcr或Pcr表示。屈曲（Buckling)与失稳由于压杆的失稳现象是在纵向力的作用下，使杆发生突然弯曲，所以这种弯曲也常称为纵弯曲，这种丧失稳定的现象，有时也称屈曲。2.极值点失稳实际压杆总是有缺隐的(残余应力、初弯曲、荷载有初偏心等等)。曲线GJK是有初挠度d0的实际压杆的FP-d关系曲线。J点是极值点，对应荷载FPJ是极值荷载。当FP=FPJ后,将出现JK段曲线所反映的实际压杆的崩溃现象——在荷载值不断降低的情况下杆件急剧弯曲，不再能维持其原来的缩短加弯曲的变形形式。这种现象叫做极值点失稳。它总是小于临界荷载。五、结论当压杆所受的轴向压力达到临界力Pcr的值时，该压杆就处于临界平衡状态。在临界平衡状态下杆件可能在没有受到外界干扰时还能处于原来的直线平衡状态，也可能在受到微小干扰后保持微弯状态下的平衡。但由于杆件总不可避免地要受到外界的干扰，而一经干扰之后，即使还能保持微弯状态下的平衡，但它已不能回复到它原来的直线平衡状态，这时的压杆实质上是处于不稳定平衡状态。因此，当作用于压杆的轴向压力P=Pcr时，压杆开始丧失稳定。1.对于理想压杆，稳定性意味着压杆维持其直线压缩的变形形式的能力。由于压杆的失稳常常发生在杆内的应力还很低的时候，因此，随着高强度钢的广泛采用，对压杆进行稳定计算是结构设计中的重要部分。2.对于实际压杆（有缺陷的压杆），稳定性意味着它维持其缩短加弯曲的变形形式的能力。12-2细长压杆临界力的欧拉公式一、两端铰支压杆的临界力:vv1.公式推导假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，从挠曲线入手，求临界力。M(x)=FPcrv(x)代入挠曲线近似微分方程()EIMx经整理后得220/PcrkkFEI其中，1.公式推导20k二阶齐次线性微分方程的通解为12cossinCkxCkxv(0)=0,v(l)=0边界条件1•C1+0•C2=0coskl•C1+sinkl•C2=0v(0)=0v(l)=010cosklsinkl=0零解表示未加干扰时杆可在直线位置平衡，但无助于求FPcr非零解条件sinkl=01.公式推导sinkl=0kln(n=0,1,2,)2222PcrnEIFEIkl(n=0,1,2,)故但n=0时，FPcr=0，无意义。因此，n的合理最小值是1，于是有22PcrπlEIF最小临界载荷——欧拉公式欧拉公式的应用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内；3.两端为球铰支座。注：上式是由两端为球铰支座(各方向的约束条件相同)推出，因此I应为截面的最小形心主惯性矩，即失稳时，将在刚度最小的平面内发生弯曲。2.两端铰支压杆临界平衡时的微弯挠曲线方程2πsinnxxCl2(1)/2,sin0)xlCxxllddd当n=1时，代入，，则=两端铰支压杆失稳时，挠曲线是一半波正(可见，弦曲线。2Pc22r2(2)sin0)π(/2)CxxEIFlll挠曲线是两个当n=2时，=(半波正曲线。弦2Pc22r3(3)sin0)π(/3)EICxllFlx挠曲线是三个当n=3时，=(半波正弦曲线。二、其他支承情况下，压杆临界力的欧拉公式当杆端为其他约束情况时，细长压杆的临界压力公式可以仿照两端铰支压杆临界力公式的推导方法，根据在不同的杆端约束情况下压杆的挠曲线近似微分方程式和挠曲线的边界条件来推导。一端固定、一端铰支的细长压杆，杆的长度为l，抗弯刚度为EI，承受轴向压力P，如图所示。试推导其临界压力。推导压杆在临界压力作用下，将在微弯情况下保持平衡。由于固定端B产生反力偶MO，因此，简支端A必有反力H=MO/l。()MxEI00()()PcrPcrMMxFHlxFxMl由挠曲线近似微分方程得22()PcrkHklxF2/PcrkFEI通解sincos()PcrHAkxBkxlxF推导sincos()PcrHAkxBkxlxF边界条件：0,0,(/)0,0,/()PcrPcrxBHFlxAHkF1[sincos()]PcrHkxlkxlxFk另，x=l,v=0,得稳定方程1(sincos)0PcrHkxlkxFk杆在微弯状态下平衡时，H不可能等于零，于是有tanklkl推导tanklkl最小非零解kl=4.49故222224.49(0.7)PcrEIFEIkEIll1[sincos()]PcrHkxlkxlxFk讨论拐点21(sincos)0PcrHlkkxkxFkl令12tan4.4901.354.49kxklxlkxkx则（）解，有x1=0.3l；x2=l。推导x1=0.3l为挠曲线的拐点坐标值，x2=l为上端铰支座位置。拐点（反弯点）和铰支座处M=0。可见，该压杆可化为两端球铰支压杆，其相当长度为l0=0.7l。综上所述：可以利用两端铰支细长压杆的临界力公式，采用类比的方法，将微弯平衡挠曲线上拐点视为铰，并将压杆在挠曲线两拐点间的一段视为两端铰支压杆，得到其他杆端约束情况下细长压杆的临界力公式。22Pcr220ππEIEIFll挠曲线两拐点间的一段杆长称为原压杆的相当长度或计算长度或自由长度，并用表示，—长度系数。0ll压杆临界力欧拉公式的一般形式各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式0.5l支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由两端固定但可沿横向相对移动失稳时挠曲线形状PcrABl临界力Pcr欧拉公式长度系数μ22lEIPcr22)7.0(lEIPcr22)5.0(lEIPcr22)2(lEIPcr22lEIPcr=10.7=0.5=2=1PcrABlPcrABl0.7lCCDC—挠曲线拐点C、D—挠曲线拐点0.5lPcrPcrl2llC—挠曲线拐点例12-3超过比例极限时压杆临界应力一、临界应力与柔度APcrcr1.临界应力：中心压杆处于临界状态且仍在直轴线状态下维持不稳定平衡时，横截面上的平均应力。cr2.细长压杆的临界应力——欧拉临界应力公式222222)/()(EiLEALEIAPcrcr注：—惯性半径。—AIi22Ecr即：如果压杆在不同平面内失稳，且各平面内支承约束条件不同，则应分别计算在各平面内失稳时的，并按其大者来计算，因压杆总是在柔度较大的平面内失稳。cr3.柔度：）—杆的柔度（或长细比—iL综合地反映了压杆的长度(l)、支承方式()与截面几何性质(i)对临陆界应力的影响。二、欧拉公式的适用范围欧拉公式是根据挠曲轴线微分方程建立的，而该方程仅适用于杆内应力不超过比例极限p的情况，因此，欧拉公式的适用范围为PcrE22PPE2或P大柔度杆（或满足的杆称为，其临界力用欧拉长细杆）公式求。求。临界力不能用欧拉公式的杆为中小柔度杆，其P二、欧拉公式的适用范围ppE能用欧拉公式的压杆柔度的限界值。其值仅与材料的弹性模量E及比例极限p有关，故p之值仅随材料而异。p3210GP200MPaEp3号钢：a,21010=102200p11GP20MPa737Ep3松木：a,1110=.20因此，在使用欧拉公式前，须先判断是否满足。P三、中小柔度杆的临界应力计算1.三类不同的压杆的