离散型随机变量的方差和标准差

2.5.2离散型随机变量的方差和标准差1、离散型随机变量均值的定义和求解步骤X……P……一般地,若离散型随机变量X的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx则称为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。1122iinnEXxpxpxpxp复习2、离散型随机变量均值的性质及应用(1)随机变量均值的线性性质若ξ~B(n，p)，则Eξ=np(2)服从二项分布的均值(3)服从参数为N,M,n的超几何分布，它的均值NMnE•3.求离散型随机变量的数学期望的方法.公式法:已知是二项分布或超几何分布，直接代用公式定义法:其它分布的随机变量，先求出分布列，在对应求均值。若Y=aX+b,则EY=aEX+b甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X、Y表示，X、Y的分布列如下：X0123P0.60.20.10.1Y0123P0.50.30.20如何比较甲、乙两人的技术？比较出废品的均值！()00.610.220.130.10.7EX()00.510.320.2300.7EY()()EXEY从这个意义上讲，甲、乙技术相当！我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．X1x2xnxP1p2pnp能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？离散型随机变量取值的方差一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：nniipEXxpEXxpEXxDX22121)()()(则称为随机变量X的方差。niiipEXx12)(P1xix2x······1p2pip······nxnpX称DXX为随机变量X的标准差。它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。三、基础训练例1.已知随机变量X的分布列X01234P0.10.20.40.20.1求DX和σX。21.042.034.022.011.00EX解：2.11.0)24(2.0)23(4.0)22(2.0)21(1.0)20(22222DX095.12.1DXX甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X、Y表示，X、Y的分布列如下：X0123P0.60.20.10.1Y0123P0.50.30.20如何比较甲、乙两人的技术？例2．若随机变量X的分布如表所示：求方差DXX01P1-pp解：()0(1)1EXppp22()(0)(1)(1)(1)VXppppppDXEX一般地，如果随机变量X服从两点分布，pEX数学期望)1(ppDX方差X0123P33.0解：(1)X～B（3，0.7）2133.07.0C3.07.0223C37.0322321337.033.07.023.07.013.00CCEX1.2例3篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.7，求他罚球3次的得分X的方差。3222322132327.0)1.23(3.07.0)1.22(3.07.0)1.21(3.0)1.20(CCDX3.07.0363.0(1)独立射击,每次命中率P=0.9,则n=10次时，射击命中次数X的期望X的方差(2)掷n=10次均匀的硬币,正面向上次数为Y,则Y的均值Y的方差;51021次npEX结论：若X～B(n，p);99.010次npEX则EX＝np，DX=np(1-p)9.01.09.010)1(pnpDX5.25.05.010)1(pnpDX一般地，由定义可求出超几何分布的方差的计算公式：当时，~(,,)XHnMN2()()()(1)nMNMNnVXNN()nMEXND(X)四、方差的应用例4：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1，X2分布列如下：用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4解：9,921EXEX8.0,4.021DXDX表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8－10环。问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.49,921EXEX8.0,4.021DXDX练习．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲分数X8090100概率0.20.60.2乙分数Y8090100概率0.40.20.4试分析两名学生的答题成绩水平．相关练习：DD则，且、已知,138131ppnBX,n1.6,DX8,EX),(2则，～、已知3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X，求EX和DX。117100.82，1.98五．回顾小结：1．离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义；2．离散型随机变量的方差和标准差的计算方法；3．超几何分布和二项分布的方差和标准差的计算方法．