第四章-CT成像系统C

4.3从投影重建图像的原理—中心切片定理CT工作过程CT成像本质上是人体组织的衰减系数μ成像。成像物理原理为通过CT扫描机构扫描获取求解μ的方程组；解方程组获得人体某一体层面各个体素的μ值；再将μ值转换为CT值；最后将CT值变换成能视觉识别的灰度图像。•CT成像中物体对X线的吸收起主要作用，忽略对X线的散射作用。线性吸收系数线性吸收系数•在均匀物体中，X线衰减服从指数规律•由于人体器官或组织由多种物质成分和不同密度构成的，X线穿透人体时各点对X线的吸收系数μ不同。leII0•入射第一个体素的X线强度为I0时，透过第一个体素的X线强度Il：•设第二个体素的吸收系数为μ2，X线经第二个体素透射出的强度I2：leII101leII212第n个体素透射出的X线强度In：llleIeeII2121002lnneIII210021ln1IIln•为建立CT图像，必须求出每个体素的吸收系数μ1、μ2、μ3……μn。•求n个吸收系数，需要建立n个或n个以上的独立方程。•CT装置从不同方向上进行扫描（scanning），来获取足够的数据建立求解μ的方程。•μ与X线能量之间有着依赖关系，即μ随X线能量的增大而减小。•一般X线束以单一频率、固定能量线束穿透物体，可检测到比较稳定的μ。CT图像重建•运用一定的物理技术测定X线在人体内的吸收系数μ为基础，采用一定的数学方法经计算机求解出μ值在人体某剖面上的二维分布矩阵，再用电子技术把µ二维分布矩阵转变为图像面上的灰度分布，实现重建体层图像目的。•本质是吸收系数重建。图像矩阵•每个小单元体按照扫描过程中的顺序进行排列和编号，形成一个有序的数组；这些有序的数组在图像平面上形成图像矩阵。•CT图像重建按照这些有序数组计算和重建图像。N×N矩阵中的元素用μij表示，代表组织的吸收系数或CT值。•头部CT采用256×256或320×320矩阵；•全身CT图像选256×256或512×512矩阵；•显示脊椎骨等结构的细节采用512×512或640×640矩阵。•投照受检体后出射的X线束强度I称投影(projection，P)，投影值的分布称为投影函数。1.不失真地反映人体被测层面的图像信息；2.短时间内完成；3.理论和技术上可行。图像重建要求:图像重建的数学基础1．吸收系数上式写成对沿着X线束路径随S连续变化的吸收系数连续函数f(s)变化的积分形式：021ln1IIln01lnIIlini0lnIIdssfP•设断层平面在X-Y中，断层平面上每一点的吸收系数是坐标(x，y)的函数f(x，y)。•X线束在平移和旋转扫描中，X线的投影P总是与X线束路径l有关，用极坐标(R，θ）来描述X线束路径l的位置。•P是随X线束扫描方向和路径的不同而变化，经过坐标变换后，X线束穿过吸收系数f(x，y)的物体，在R-θ坐标平面上的投影的是函数P(R，θ)。•当在某一θ角度时，将式表示为平面坐标上的投影P(R，θ)：•dxdyyxfRP,,0lnIIdssfP分析：•数据采集得到X线束在各个方向上的投影Pθ(R，θ)；•CT图像重建就是要从积分方程式中解出吸收系数f（x，y）。•根据投影Pθ(R，θ)求解出断面上线性衰减系数f(x，y)分布，就是CT图像重建的数学方法问题。2.δ-函数又称单位脉冲函数。••性质：若f(t)为连续函数：bxaxfdxxxxf0001xd•δ函数推广到二维，δ(x，y)有：•意义：CT图像重建中可用δ-函数来校正反投影法重建中产生的图像模糊。1,dxdyyx0000,,,yxfdxdyyyxxyxf一、中心切片定理f(x,y)投影线LXYθ)(RgR0RRyxsincos密度函数f(x,y)及其投影函数)]([)(RgFGvuxy)(Rg),(yxf)],([),(yxfF中心切片定理投影定理yxg(y)F(x,y)例：二维密度函数f(x,y),沿x方向投影。二二、证明中心切片定理三、投影重建图像各个空间之间的关系傅里叶变换重建图像的过程例：举例说明傅里叶图像重建)2(rect11)(circrect(ρ/2)函数的说明Circ(ρ)函数的形状4.4从投影重建图像的算法图像重建算法图像重建算法是图像矩阵的求解方法。如有N×N的图像矩阵，有N×N个独立的线性方程组，并且求解N×N个矩阵中的体素的吸收系数μij。N×N个方程组求解可以采用迭代法（逐次近似法）等。现在应用比较多的是投影法、二维傅里叶重建法和滤波反投影法（filteringbackprojection，FBP）。反投影法（backprojection）又称总和法或线性叠加法。它是利用所有X线的P值计算各个像素的μ值的二维分布。基本原理：是将所测得的投影值按其原路径平均分配到每一点上，各个方向上投影值反投影后，在影像处进行叠加，推断出原图像。反投影法•例：对四个体素(μ1=1，μ2=2，μ3=3，μ4=4)矩阵的图像重建：•对四体素矩作0°、45°、90°、135°投影（扫描），再将投影值反投回原矩阵的对应位置上，即可将原矩阵中的四体素的特征参数值解出。一、直接反投影1.直接反投影原理f(x,y)投影线LXYθ)(RgR0RRyxsincos2.数学上的定量分析与修正以δ函数为密度的函数，直接反投影创建的图像，带有“长尾巴”的1/r，造成图像的伪像。直接反投影法的图像重建以及修正的过程•缺点：影像边缘处不清晰。•如果在一均匀的组织密度内，存在吸收系数极不均匀的部分时，反投影图像与原图像会出现伪影（imageartifact）。•反投影数量愈多，重建图像愈接近于原图像，但由于存在星形伪影，而使得重建图像的边缘部分模糊不清。算法举例根据反投影算法x1=p5=5x6=p2+p3+p5=18…平均化处理，除以投影线数目xi=xi/6000005200100000056237181271108136250.8310.3300.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83反投影重建后原像素值再除以投影线数，平均化断层平面中某一点的密度值可看作这一平面内所有经过该点的射线投影之和的平均值123456星状伪迹反投影重建后，原来为0的点不再为0，形成伪迹00000520010000000.8310.330.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83原像素值再除以投影线数，平均化星状伪迹产生星状伪迹的原因在于：反投影重建的本质是把取自有限物体空间的射线投影均匀地回抹(反投影)到射线所及的无限空间的各点之上，包括原先像素值为零的点重建图像的边缘模糊原因：•重建的fb(x，y)与实际的f(x，y)不一样。•为获得真实的吸收系数，必须对fb(x，y)进行修正。•反投影吸收系数fb(x，y)与实际f(x，y)之间存在一个1/r，1/r称为模糊因子。ryxfyxfb1,,滤波反投影算法去除星状伪迹的两种方法：取投影取投影一维滤波器反投影重建二维滤波器反投影重建输入图像（原图像）输入图像（原图像）输出图像(同原图像)输出图像(同原图像)星状尾迹的去除（b）（a）第一种方法中的二维滤波器较难实现。第二种方法交换了滤波与反投影的顺序，此时投影数据是一维的，易于实现。此方法的理论基础就是中心切片定理。滤波反投影算法滤波反投影法滤波反投影法为了消除模糊因子1/r的影响，并将二维傅里叶变换改为只进行一维傅里叶变换，既可校正失真，又简化计算，提高图像重建速度。滤波反投影法也称卷积反投影法（convolutionbackprojection，CBP）。滤波反投影法是在反投影之前，对所有的投影数据进行滤波或卷积，使结果的图像无“星月状”伪影。重建成像过程：（1）获取全部的投影数据并作预处理：先取得各投影数据的衰减吸收值并将其转换成重建所需的形式。经过预处理数据（原始数据）存入硬盘。（2）将原始数据的对数值与滤波函数进行卷积：卷积采用的滤波函数需考虑图像的分辨力和噪声等。（3）进行反投影：根据系统显示的不同选择矩阵大小，经过滤波后的原始数据被反投影成像并通过监示器显示。滤波反投影法的过程三、卷积反投影法滤波函数1.R—L滤波函数)(LRH00R—L卷积函数（连续、离散）S—L滤波函数2.S—L滤波函数S—L卷积函数（连续、离散）卷积反投影法的过程4.5从投影重建图像的算法—扇形束反投影重建算法X射线以等角度分布形成的扇形束检测器以等间距分布形成的扇形束扇束投影重建算法的分类重排算法把一个视图中采得的扇形数据重新组合成平行的射线投影数据，然后用上一节的算法重建。直接重建算法不必数据重排，只需适当加权即可运用与上一节类似的算法重建