27.2.2相似三角形的判定(2)

复习1、相似三角形有哪些判定方法?AC/B/A/CB2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°,或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？一定相似观察作△ABC和△A`B`C`，使得∠A＝∠A`,∠B＝∠B`，这时它们的第三个角满足∠C＝∠C’吗？分别度量这两个三角形的边长，计算，你有什么现？,,''''''ABBCCAABBCCA探究ABCA'B'C'满足：∠C=∠C'''''''ABBCCAABBCCA△ABC∽△A'B'C'探究把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？△ABC和△A'B'C'相似吗？一样△ABC和△A'B'C'相似得到判定两个三角形相似的又一个简便方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B'，求证:△ABC∽△A'B'C'证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B,∠B=∠B'∴∠ADE=∠B'又∵∠A=∠A',AD=A'B'∴△ADE≌△A'B'C'∴△A'B'C'∽△ABCABCDEA'B'C'CAA'BB'C'∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'用数学符号表示：相似三角形的识别(两个角分别对应相等的两个三角形相似)下面每组的两个三角形是否相似？为什么？①①②③④70o50oABCFDEACBDEFBACDFE30o30o30o30o55o30o60o50o1.如图所示：∠1=∠2=∠3图中相似三角形有ABCDE3212.判断并说理（1）顶角相等的两个等腰三角形相似。()（2）有一个角为120°的两个等腰三角形相似。()（3）有一个角为40°的两个等腰三角形相似。(4)两个等腰三角形相似。()3.Rt△ABC中，CD是斜边AB的高，图中相似的三角形有CADB4321△∽△∽△ABCACDCBD△AED∽△ADB∽△ABC√BEDAC4.如图所示：AD⊥BC于D,CE⊥AB于E，且交AD于O,图中相似三角形有（）对。O6BEDAC5.如图所示：AB⊥BD、ED⊥BD、C为BD中点，且AC⊥CE、ED=1、BD=4,则AB=()122？46.如图所示:若△ABO∽△CDO，则应添加的条件为（）ABCDO相似于7如图：已知:DE∥BC,EF∥AB,则图中共有（）对三角形相似.ABCDEF38有一个角是80°的两个等腰三角形相似吗？这样的两个三角形不一定相似.CAB80°80°CAB80°1.底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论．BACB'A'C'已知：等腰△ABCAB=AC和等腰△A'B'C'，A'B'=A'C'且有∠B=∠B',求证:△ABC∽△A'B'C'证明：∵等腰三角形AB=AC∴∠B=∠C∴△ABC∽△A'B'C'∵等腰三角形A'B'=A'C'∴∠B'=∠C'∵∠B=∠B',∴∠C=∠C'练习已知:等腰△ABC有AB=AC和△A'B'C'有A'B'=A'C'，并且∠A=∠A',求证:△ABC∽△A'B'C'证明：∵△ABC中AB=AC，∠B=∠C∴2∠B=180°－∠A1902BA同理△A'B'C'中A'B'=A'C'，∠B'=∠C'∴2∠B'=180°－∠A'1'90'2BA又∠A=∠A'∵∠B=∠B',∵△ABC∽△A'B'C'BACB'A'C'2.如图，Rt△ABC中,CD是斜边上的高，△ACD和△CBD都和△ABC相似吗？证明你的结论．ＡＢＣＤ12△ACD∽△ABC△CBD∽△ABC证明：∵∠ACB=∠ADC=90°又∠A=∠A=90°∴△ACD∽△ABC∵∠CDB=∠ACB=90°∠B=∠B=90°∴△CBD∽△ABC例1如图所示，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似．C'B'A'CBA例题欣赏解：∵∠B＝∠B′＝90°（已知），∠A＝∠A′（已知），∴△ABC∽△A′B′C′（两个角分别对应相等的两个三角形相似．）例2.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.AEFBCD例题分析解:∵DE∥BC，EF∥AB（已知），∴∠ADE＝∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等）∠AED＝∠C.（两直线平行，同位角相等）∴△ADE∽△EFC.（两个角分别对应相等的两个三角形相似．）例3如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证:PA·PB＝PC·PD证明：连接AC、BD．∵∠A和∠D都是所对的圆周角，∴∠A＝∠D同理∠C＝∠B∴△PAC∽△PDBPBPCPDPA即PA·PB＝PC·PD·ABCDOPCBABCDE例4.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，若∠A=35°,∠C=85°,∠AED=60°则AD·AB=AE·ACCADB已知：Rt△ABC中，CD是斜边AB的高,求证：AC2=AD·AB1证明:∵∠A+∠ACD=90°∠1+∠ACD=90°∴∠A=∠1∵∠ACB=∠ADC=90°∴△ABC∽△CDACADABAC∴AC2=AD·AB已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=900,对角线BD⊥CD试问△ABD与△DCB是什么关系？证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC∵∠A=∠BDC=90°∴△ABD∽△DCBABCD(2)∵△ABD∽△DCBADBDBDBC即:BD2=AD·BCBD2=AD·BC例5：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F求证：△ABF∽△CAFABFCDEFABCDGE图1（1）图1中DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形。（2）图2中AB∥CD∥EF，找出图中所有的相似三角形。答：△ADE∽△AFG∽△ABC。答：△AOB∽△FOE∽△DOC。AB图2CFDEO（3）在△ABC和△A′B′C′中,如果∠A＝80°,∠C＝60°,∠A′＝80°,∠B′＝40°,那么这两个三角形是否相似？为什么？∠B=180°－（∠A+∠C)=180°－（80°+60°)=40°ABCDEABC21OCBADOCDABABCDE相似三角形的识别方法有那些？方法1：通过定义方法5：两角对应相等三个角对应相等三边对应成比例课堂小结方法2：平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所得三角形与原三角形相似方法3：三边对应比相等方法4：两边对应比相等且夹角相等