一元二次不等式与简单的线性规划问题

1．二元一次不等式表示平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)____边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)__边界直线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，其坐标适合Ax＋By＋C＞0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合______________.不含含Ax＋By＋C＜0(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的____来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的________．符号公共部分2．线性规划的有关概念3．线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：(1)根据题意，设出变量x、y；(2)找出线性约束条件；(3)确定目标函数z＝f(x，y)；(4)画出由不等式(组)确定的可行域；(5)作出f(x，y)＝t的图象，在可行域内找出使t取最大值或最小值的位置，确定最优解，给出答案．1．不等式x2－y2≥0所表示的平面区域(阴影部分)是()解析：因x2－y2＝(x＋y)(x－y)≥0，故选C.答案：C2．不等式x＋3y－1＜0表示的平面区域在直线x＋3y－1＝0的()A．右上方B．右下方C．左下方D．左上方解析：把原点(0,0)代入不等式，不等式成立，结合图形知选C.答案：C3．下面给出的四个点中，位于x＋y－1＜0，x－y＋1＞0表示的平面区域内的点是()A．(0,2)B．(－2,0)C．(0，－2)D．(2,0)解析：把备选项逐个代入检验．答案：C4．原点(0,0)和(1,1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是________．解析：由题知－a(1＋1－a)＜0，故0＜a＜2.答案：0＜a＜21．在确定平面区域时，一般考虑取(0,0)或(1,0)点代入判定．2．对线性目标函数z＝Ax＋By中B的符号一定要注意．当B0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；当B0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．3．解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．求最优解时，若没有特殊要求，一般为边界交点．4．常见代数式的几何意义(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；x－a2＋y－b2表示点(x，y)与(a，b)的距离．(2)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．(即时巩固详解为教师用书独有)考点一二元一次不等式组表示平面区域【案例1】不等式组x－4y＋3≤0，3x＋5y≤25，x≥1所表示的平面区域图形是()A．第二象限内的三角形B．四边形C．第一象限内的三角形D．不确定关键提示：严格按步骤作图，取点验证区域．解析：x－4y＋3≤0表示的区域为直线x－4y＋3＝0及左上方部分的区域，3x＋5y≤25表示的区域为直线3x＋5y－25＝0及左下方的平面区域，x≥1表示x＝1及右侧部分的平面区域，故不等式组表示的平面区域为第一象限内的三角形．如图所示，选C.答案C【即时巩固1】若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y3表示的平面区域内，则m＝________.解析：由题意可得|4m－9＋1|5＝4，2m＋33，解得m＝－3.答案：－3考点二应用线性规划求最值【案例2】(2009·海南、宁夏)设x，y满足2x＋y≥4，x－y≥－1，x－2y≤2，则z＝x＋y()A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值关键提示：注意比较目标函数的斜率与约束条件的斜率大小．解析：由图象可知z＝x＋y在点A处取最小值zmin＝2，无最大值．答案B解：(1)如图可得A(1,2)，B(2,1)，M(2,3)．当直线过点B(2,1)时，y＝2x－z的纵截距最小．此时，zmax＝2×2－1＝3.【即时巩固2】已知实数x，y满足x＋y－3≥0，x－y＋1≥0，x≤2.(1)求z＝2x－y的最大值；(2)求z＝yx的最大值．(2)如图，kOA＝2，kOB＝12，所以12≤yx≤2⇒z的最大值为2.考点三简单线性规划的实际应用【案例3】若实数x、y满足2x－y≥0，y≥x，y≥－x＋b，且z＝2x＋y的最小值为3，则实数b的值为________．关键提示：把b视为已知量，确定可行域，平移直线确定最优解对应的顶点．解析：在坐标平面内画出不等式组2x－y≥0，y≥x，y≥－x＋b表示的大致平面区域，在坐标平面内平移直线2x＋y＝0，注意到当直线平移到经过直线2x－y＝0与y＝－x＋b的交点时，目标函数z＝2x＋y取得最小值，再结合z＝2x＋y的最小值为3，分析确定b＝94.答案：94【即时巩固3】若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是()A.73B.37C.43D.34解析：由图可知，线性规划区域为△ABC边界及内部，y＝kx＋43恰过A(0，43)，y＝kx＋43将区域平均分成面积相等的两部分，故过BC的中点D(12，52)，52＝k×12＋43，k＝73.答案A考点四简单线性规划的实际应用【案例4】(2010·广东)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元．那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？关键提示：确定两个变量，找出约束条件，构造目标函数；注意实际问题的限制．解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为F，则F＝2.5x＋4y，由题意知：12x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54，x≥0，y≥0.画出可行域如图所示：将目标函数F＝2.5x＋4y转化为直线的截距式方程：y＝－58x＋F4，当目标函数过点A，即直线6x＋6y＝42与6x＋10y＝54的交点(4,3)，F取得最小值．即要满足营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．【即时巩固4】(2010·四川)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，则x＋y≤70，10x＋6y≤480，x，y∈N，目标函数z＝280x＋200y.结合图象可得：当x＝15，y＝55时z最大．本题也可以将答案逐项代入检验．答案B