对数的产生与发展

恩施职业技术学院学报综合版第卷第期年第期对数的产生与发展李春艳’,龙发山湖北省巴东县教研室,湖北巴东恩施职业技术学院,湖北恩施摘要文艺复兴运动促使天文、近代力学等自然科学从封建神学的桂桔下解放出来。十四世纪下半叶,改进数学计算方法已成为数学家们的当务之急。经过数个世纪酝酿的对数思想终于由英国数学家纳皮尔等人在十六世纪末确立为一门新的计算技术—对数,并得到了进一步地发展。关键词对数产生中图分类号文献标识码文章编号一一一对数肠一词,源于希腊文的入拉丁文玩,是表示思想的文字或记号。也可作“计算”或“比率”讲。它与另一字,卜数结合起来,便成肠这个词。对数的产生,是计算技术的又一次重大进步,系十七世纪数学三项重大成果之一。邵,一约年。首先是法国十六世纪著名的神学教授、数学家施蒂费尔于年在其《整数的算术》中,写出了与”的两个数列!对数是天文学与三角学相结合的产物。其基本思想可追朔到古希腊的阿基米德,一年时代。当时的阿基米德研究了这样两个数列,…………发现了它们之间的一一对应关系。即可用数列的加减关系来替代数列的乘除关系,但没有将这项研究继续下去。文艺复兴运动促使了欧洲封建社会的解体。天文、航海、近代力学从封建神学的侄桔下解放出来,发展十分迅速。这使数学家们碰到了许多计算方面的困难。特别是在计算星球运行轨道和研究星球之间的位置关系时,为了得到一个结果,时常需花去几个月的时间,问题主要集中在三角函数表的制作上。到十六、十七世纪之交,精密的三角函数表虽然已经制成,但却增加了不少的繁重的演算。因此,改进数字计算方法,成为数学家们的当务之急,一种新的计算方法便应运而生。而为这种新的计算方法作出了实质性贡献的当属施蒂费尔,一年和舒开】上一列是等差数列,施称之为指数德文,原意是“代表人物”或“代表者”,下一列是等比数列,他称之为原数。施蒂费尔发现若要求下一列任意两数之积,只需要计算与这两个数对应的上列数之和即可。下一列数的乘方、开方运算也可转化为上列数的乘除运算。例如要计算,与对应的仁列数分别为和,而与之和为,再找到上列数所对应的下一列数,即为所求而要求的算术平方根,与对应的上列数为,令二,与对应的下列数为,即得所求。由此可以看出施蒂费尔所给出的两个数列,实际上是下一列以为底的对数就是上一列的对应数,如乡二,这也说明施实际一已注意到了下运算法则乡·至〕,洽,。一‘这正是对数运算的萌芽。由于当时指数概念尚没完善,对于诸如,的情况感到束手无策而终止研究。收稿日期一一作者简介李春艳龙发山,湖北省巴东县教研室教研员。,恩施职业技术学院,高级讲师。施蒂费尔的这些成果,法国数学家舒开于年在其《数学科学中的三部曲》中指出过。但因书中内容太深,以至与他同时代的人都无法读懂。直到十九世纪才得以出版。尽管如此,但上述事实已能充分说明施与舒为对数的产生作出了实质性的贡献。对数的创始人纳皮尔,一年出生于苏格兰爱丁堡附近的契斯顿堡。年人圣·安德卢斯大学。是一位对天文学很感兴趣的业余数学家。主要从事球面三角学的研究工作,以“纳皮尔比拟式”,“纳皮尔法则”闻名于世。对数字计算有特别的研究。他以半径为少的圆作为出发点探求对数。经过二十多年的艰苦努力,撰《奇妙的对数定理说明书》和《奇妙对数定理的构造》。前者长达两百多页,于年月在爱丁堡出版。后者是在纳皮尔逝世后,由他儿子·整理后,于年出版的。但撰写年代可能早于《奇妙的对数定理说明书》。该书对对数的定义、性质和对数表的构造方法等有其充分的解释,给出了以分弧为间隔的角的八位正弦的对数表。首创“对数”术语。在此仅摘其纳皮尔对数定义,展示其发现过程。“设线段巧长少为半径,为同一线段上给定的正弦,设从在某一特定时间内以几何级数移动到。又设为另一条线,的一端为无穷远。设沿直线以在点时的速度以算术级数移动,从固定点向的方向,在同一时间内到达的点为的长叫做给定正弦的对数。”用现代数学语言与符号叙述即一一’·,二含一’一‘一‘,一,·’二哗就是的对数,我们叫它“纳皮尔对数”,用·盯来表示。即‘’“·谬二······……进一步考察,我们即可发现,“纳皮尔对数”实际上是以告为底的对数。为避免分数计算,纳氏取二,,有·,二卜击】。二命‘卜命。二一二‘,一奋,一命‘卜备,二‘,一命,于是得到下面两列数值。卜奋奋卜击,‘卜青,山山奋奋共共泛二二二了了用‘,乘以每个幂,如果二‘,‘,一奋,则纳氏称为的对数。由于‘,一命””’又鳃,·告’一告将‘”’代人,即可得纳皮尔对数与自然对数的关系,。。二。砂兴二。,卫一令TS则Td10,ds=y,bC二a,二m一y,由此可知g的移动速度d(m一v)一dt分离变量积分得:一Iny二t+e当t二o时,g=m故C二一Inm……(1)另一方面,a的移动速度二奈二m即a二mt将t,。的值代人(1)得:纳皮尔造对数表,实质上是给出上述微分方程的近似积分。最先掌握对数思想的是瑞士的钟表、仪器修理匠,后来成为数学家的比尔吉(J.Bu飞e,1552一1632年)。他是著名天文学家开普勒(J.kepler,一571一1630年)的助手。他在接触繁杂的天文计算中,产生了需要简化计算的思想。从1603年到1611年,比尔吉用了八年的时间编出了世界上最早的对数表。但直到1620年,由于开普勒的坚决请求,才得以出版。书名为《算术级数和几何级数表》。而这时纳皮尔对数已闻名全欧州了。但纳皮尔的途径是几何的,而比尔吉的途径却是代数的。实际情况是,两人在很早以前都发现了对数。纳皮尔对数在爱德堡发表后,震动了当时伦敦的数学界。年过五旬的牛津大学天文、数学家布里格斯(H、Briggs,1567一163一年)声称说他“未读过一本能够使我这样惊异和喜爱的书”。在16巧一1616年间,先后两次到爱丁斯堡。表示他对这位伟大的对数发明者表示敬意,同时也讨论了对数的改进问题。双方一致同意,1091=0与109、。10二100=1。这也就是今天的以10为底的常用对数,即所谓布里格斯对数。1617年4月,纳皮尔逝世,布以其毕生精力,继承了纳皮尔未¹对纳皮尔来说,正弦即一线段或线段的长,正如我们现在用线段表示三角函数一样。竟之业。布在计算他的对数时,取俪,抓而···一直取到54次这样的平方根,得出了一个略大于1的数A,A二‘“【‘专)5’’。然后他取肠gl0A二‘合,,再利用两数乘积的对数等于它们的对数和这一事实,算出了世界上第一张常用对数表,即1到20000和90000到100000之间的14位常用对数表。过J寸的布里格斯已是五十六岁的高龄了,考虑到自己在有生之年难以把所缺部分算完,于是他又以七年的时间对表进行整理,刊载于他撰写的《对数算术》中,并在1624年发表。由于他引进了“首数”¹一词,而使其篇幅大为减少。而从20000到90000之间的常用对数还没来得及算出,这位天文、数学家就去世了。这个空档则是由荷兰的青年出版商弗拉格(A.Vlaeq,1600?一1667年)于1628年补齐,并于1629年正式出版。几位对数制表人,象接力赛那样,跑完了全程。布与弗所发表的对数表,直到1924和1949年,才被为了纪念对数发现300周年,在英国算出的20位对数表所代替。实践表明,在理论研究和实际计算的过程中,采用以e为底的对数,更为方便,这就是自然对数。世界上第一张自然对数表以肠9.10xIJ的形式出现在英国人赖特(Reiter,生卒年代不详)于1618年所编英文版的《奇妙的对数定理说明书》的第16页的附录中。一般认为,这个附录的作者是奥特雷德(W.Qughrre.1574一1660年)。关于以e为底的自然对数的准确涵义是由伦敦的一位中学教师佩特尔(J.sPeiden,生卒年代不详)首先提出的。他在1619年出版了《新对数》一书,书中包含有l一10000的自然对数表。1728年,瑞士数学家欧拉(L.Eu一ar,1707一1753年)在其一篇未发表的手稿《遗作》中,首先用e表示自然对数的底,并在1748年出版的《无穷小分析引论》中,算出了无理数e二2.71828182845904523536628……卡尔登(w·Gardiner)的《对数表》所写的序言中对此进行了系统的论述。欧拉在两卷本的《无穷小分析引论》(1745年)中,引人了以a为底的x的对数109。x(他简写为Inx),作为满足a,二x的指数y,更是直接把对数建立在指数的逆运算基础上。他的“指数源于对数”这个见解也很快被人接受。至此,对数逐渐得到完善,成为我们今天所使用的对数。十七世纪微积分的诞生,此后复变函数的建立,使人们对对数有了更为深刻的认识。首先是比利时的数学家格雷果里(V·Greg()rg,1554一1667年)在研究双曲线xy=l下的ul1-积I讨,发现其面积函数具有对数函数的一般性质,并以穷竭法证明了可用现代符号表示的公式!二十dx二klsyi,(其中y二十)。他的学生萨拉沙(Alfons.A.de.saras。,16,8一1667年)是第一个把面积解释为对数的学者。1668年,法国数学家麦卡托(N·Mereato:1620一,687年)在他的《对数技术》一书中,将y二青展开为无穷级数,并推出了ln(1+x)的幂级数展开式:xZx3x月fogL’+x’二x一才+寸一了+’““’该书还给出了由自然对数变换到常用对数的比例因子:043429=谕,这使得自然对数又可以用积分加以定义。指数函数与对数函数的出现是数学史上的一次重大突破。十八世纪初,牛顿(Newto:1,1643一727年),莱布尼茨(Leibniz,1646一1716年)等人对指数函数进行了深人研究,指出指数函数与对数函数互为反函数。在复变函数中:若Z二ew,则称W为Z的对数函数,记为W二l;12,对数函数作为指数函数的反函数定义。而Inz二11112卜iArgz,由于Argz可取无穷多个值,故知Inz是一个多值函数。众所周知:世界上最早的指数概念可以追朔到14世纪中期‘º,但最终完善的时间却是十八世纪初»。纳皮尔从1590年左右就开始研究对数,那时,“指数”、“底数”的概念尚没形成。在这种情况下,他从连续的几何量出发,通过比较几何级数与算术级数,进而发现了对数。对数的发现先于指数,为数学史上的珍闻。第一次把对数定义为指数问题的是英国数学家琼斯(J.William.,1675一1749年)。他于1742年在给纳皮尔对数发表后,由于布里格斯和刻卜勒等人的努力,很快传遍欧州,并得到了广泛的应用、一十l:1计纪中叶.西方的耶稣会士将对数及对数表传人我It]、在192二0.3010这样的式子里,2叫做’‘真数”,rflj0.3010叫做“假数”。“真数与假数又t列成表”。所以I!L{“对数表”。后来假数这个名称渐渐不用,把0.301创叫做2的对数。有文字可考的是由波兰耶稣会士卜弥格(M.Boym,16一2一1659年)于1646年底从澳门发寄¹纳皮尔对数表是不分“首”、“尾”数的,所以篇幅很长。“尾数”一词则最早出现在英国数学家华利斯(J.wallis,)的《代数》中。º在数学发展史上,负分数指数幕早于指数概念。法国数学家奥雷姆(N.oresme.约1320一1382年)在《比例算法》(l36()年)中最早引人了分数指数幂的概念。»!679年,莱布尼茨第一个使用变数指数。(在给c.c·Huy,ns.1629一1695年)的信中。北京的《鲁道夫星表》。这是一部较早把对数用于天文计算的星表,书中涉及对数内容。1646年,波兰耶稣会士穆尼阁(J.N.Smo即lenski,1611一1656年)带着《比例对数表》等各种算术书来到我国澳门,先后在南京、福建、广东一带从事传授活动。1653年,清政府派方中通(Fangzhongta叮1633一2695年)、薛凤柞(xuerengzuo?一1680年)等人向其学习,同年,国人薛凤柞在穆的传授下,将《比例对数表》一书译成中文,成为我国第一本对数著作。《数理精蕴》(1723年)则比较详细地介绍了常用对数的求法和造表法,推动了中国数学家从事对数的研究。其中以戴煦(DaixU,1805一1860年)、李善兰(Ushanlan1