解三角形应用举例上课课件

解三角形应用举例——求距离1.正弦定理：CcBbAasinsinsinR2复习回顾2.余弦定理和推论：2222cababcosC2222bacaccosB2222acbcosBac2222abccosCab2222abcbccosA2222bcacosAbc3.三角形边与角的关系：1801CBA、2、大角对大边，小角对小边。斜三角形的解法已知条件定理选用一般解法用正弦定理求出另一对角,再由A+B+C=180˚，得出第三角,然后用正弦定理求出第三边。正弦定理余弦定理正弦定理余弦定理由A+B+C=180˚,求出另一角，再用正弦定理求出两边。用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由A+B+C=180˚得出第三角。用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180˚得出第三角。一边和两角(ASA或AAS)两边和夹角(SAS)三边(SSS)两边和其中一边的对角(SSA)1.2解三角形应用举例高度角度距离有关三角形计算高度和角度的测量经纬仪，测量水平角和竖直角的仪器。是根据测角原理设计的。目前最常用的是光学经纬仪。光学经纬仪钢卷尺如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°.求A、B两点的距离(精确到0.1m).ABC实例讲解解：根据正弦定理，得ABCACACBABsinsin)(7.6554sin75sin55)7551180sin(75sin55sinsin55sinsinmABCACBABCACBACAB答：A,B两点间的距离为65.7米。测量问题之一：水平距离的测量①两点间不能到达，又不能相互看到。(如图1所示)需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理,可求得AB的长。②两点能相互看到，但不能到达。(如图2所示)需要测量BC的长、角B和角C的大小，由三角形的内角和，求出角A然后由正弦定理，可求边AB的长。图1图2练习1.如图在铁路建设中需要确定隧道两端A,B的距离，请你设计一种测量A,B距离的方法？BACba的距离是多少？，则60为角以及km40,km60距离为,测量得出,取某一点oABCBCACC。km720的距离为到答：km720280060cos60402-6040cos2解：由余弦定理得：o2222BAabbaAB③两点都不能到达分析：先通过解三角形ΔACD和ΔBCD，计算出AD和BD后，再在ΔABD中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离m220222140)60-45-30-180sin(30sin40)(180sinsin0ooooCDADm24045sin90sin40sinsinDBCBCDCDBDm6202400cos222ADBBDADBDADAB解：在⊿ADC和⊿BDC中答：AB距离m。620④在坐标系内建设图形例：两灯塔A、B与观察站C的距离都是50km，A在C的北偏东30°，B在C的南偏东60°，则A,B之间的距离是多少？CAB1、分析：理解题意，画出示意图2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三子角形，求得数学模型的解。4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。实际问题→数学问题（三角形）→数学问题的解（解三角形）→实际问题的解解应用题的一般步骤是：小结1.2解三角形应用举例高度和角度的测量解应用题中的几个角的概念1、仰角、俯角的概念：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：2、方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，如图3、坡度：指倾斜角的正切值测量垂直高度1、底部可以到达的测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。..,.3的方法物高度设计一种测量建筑为建筑物的最高点不可到达的一个建筑物是底部例ABABAB图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？想一想2、底部不能到达的例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？想一想AA1BCDC1D1分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：15sin120sin12sinsinsinsin:,154560,111111111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在662184.2836182211BCBA)(9.295.14.2811mAABAAB答：烟囱的高为29.9m.例2:在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝60°，在塔底C处测得A处的俯角β＝30°。已知铁塔BC部分的高为28m，求出山高CD.分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长DABC)(42)3060sin(60sin30cos28)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得，解CD=BD-BC=42-28=14(m)答：山的高度约为14米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α.根据正弦定理，)90sin()sin(ABBC000045303927419和改成和题，将组第练习：APABPQ？m多少的高度为多少AB，则塔45俯角为的B，测得塔基30的仰角为A楼的楼顶处测得塔顶的20m相距AB的高度，在一幢与塔AB为测某塔练习00例3、某巡逻艇在A处发现北偏东450相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东750的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？143538sin09,14,10ACxABxCBBxAB追上走私船，则处小时后在方向经过解：设巡逻船沿0001204575ACB02220222120cos1092)10(9)14(120cos2xxxBCACBCACAB即由余弦定理得)(16923,02730322舍去或解得化简得：xxxx21,15ABCB1435120sinsin0ABCBBAC038BAC答：巡逻艇应该沿北偏东830方向去追，经过1.5小时才追赶上该走私船.课堂小结1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余弦定理解题。3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程图可表示为：实际问题数学模型实际问题的解数学模型的解画图形解三角形检验（答）