量子力学――薛定谔方程

回顾：叠加原理.nnnc与某物理量（例如能量）的几率分布对应的几率振幅。与空间位置几率分布对应的几率振幅。n——某物理量（例如能量）为确定值的特殊状态。常数相位•绝对常数相位没有意义•相对常数相位才是有意义的1122cc依赖于121122||||iiccecce212||可观测。1121122||||iiecce（）（）变化的相位是有意义的（能够在测量中反映出来）(,)|(,)()(,)|,irtrtrtert虽然动在空间几率密度上无法反映，但在上能够反映出来。理由如下量几：率分布/331(,)(,)e,(2)iprrtcptdp22(,)(,)(,)|(,)|rtcptrtcpt可以傅里叶变换互求但||？2(,)(,)(,)||rtttcpr是有物理意义的！/33(,)1(,)e(2)iprrtcrptd(,)(,)|(,)|rtirtrte动量几率幅补充说明：波粒二像性的理解保留经典概念的特征不具有经典概念的特征粒子性有确定的质量、电荷、自旋等没有确定的轨道波动性有干涉、衍射等现象振幅不直接可测注意的问题•我们学习的课程的量子部分作了一个假设：粒子所处的状态可以由一个波函数描述。•对更复杂的情况，状态不确定（不能由一个波函数描述），需要借助于统计方法（统计部分讲）。§2.2薛定谔方程1.薛定谔方程量子力学的基本定律是波函数所满足的偏微分方程。这个基本定律在本质上是一个假说。德布罗意物质波概念.)(222rUti推广薛定谔方程的“建立”寻找deBroglie波满足的方程，并加以推广这不是严格推导（薛定谔方程不能由旧理论严格导出）•由deBroglie波/)(),(rpEtietrit222ipp2/2Ep22.2it寻找deBroglie波满足的方程所以又因有EEitpiEitpi22().2iUrt再推广到含有势能U的情况2/2+UrEp（）两边作用于波函数iHt2/2+Ur()Hppi（）22()2HUr记住便于记忆的形式2/2+Ur()Hppi（）t=0t=T•量子力学U（r）•经典力学：力F•初始状态（依赖于实验制备）决定任意T时刻的状态，即“态的演化过程”是确定的。x多粒子（N个粒子）情况212(,,........)2ijiiiiiHtpHUrrrpi)....,,....,(21trrrj非定域性：整个体系的状态用3N个空间坐标和一个时间坐标描述。2.几率守恒定律与几率流密度•由薛定谔方程导出一个反映几率守恒的定律，从而引入几率流密度概念。2(,)(,)wrtrt几率密度J几率流密度：根据薛定谔方程几率流密度的推导（单粒子）•几率密度的时间演化：),,(),(),(),(2trtrtrtrw.tttw212iUti212iUti22()2wit().2i薛定谔方程()2iJ0wJt定义流密度•记),(2iJ则,0Jtw这是薛定谔方程造成的结果，代表一种守恒定律。由于w是几率密度，所以J可以理解为几率流密度。理解（推导积分形式）•对任何体积V，对上式积分,dJdtwVV等式右方用Gauss定理，得,SdJWdtdSVVSV内部几率变化由边界流入或流出的量。薛定谔方程能够满足全空间几率守恒r物理上应该满足随趋向无穷远而迅速趋于零，于是代表全空间几率守恒，实际上也就是粒子数守恒。薛定谔方程的这一性质是独特的。相对论情况薛定谔方程不成立，以上结果也不成立（有粒子产生和消灭，粒子数一般不守恒！）vW02dJdSdtidS（）电流密度),(2iJ电流密度(),2eiJeJe可以计算原子内部电子的电流可以计算超导体等量子系统的电流。几率流密度表达式的另一种形式***()2()c.c21c.c2ˆpReˆReˆpˆv=pˆviJi称为速度算符pic.c.代表前面一项的复共轭。例题•对平面波情况求几率流密度i(kr-t)222(r,t)Aew|||A|()2kwp|A|wvmmiJ解：对，i(kr-t)(r,t)Ae3.薛定谔方程的求解——定态薛定谔方程•方程求解-分离变量法：设),()(),(rtftr代入薛定谔方程先找特解（一系列基本函数），再叠加成通解。)()(rtf22;().2HiUHtr()()[()]()Hdftirrftdt两边同时除以（空间部分）时间部分ErUrEdtdftfi)(2)(1)()(22左边（t）=右边（r）任意t，r均成立，而左边与r无关，所以右边与r也应该无关；右边与t无关，所以左边也应该与t无关。所以两边都等于一个与t，r都无关的常数E221()()()2idfUrftdtr时间部分Edtdftfi)()(tEfdtdfiftiEt()e.空间部分（定态薛定谔方程）ErUr)(2)(122).()(222rErU定态薛定谔方程()()HrEr定态概念•完整的定态波函数（定态薛定谔方程的解乘以时间因子）(,)e(),iEtrtr•对比deBroglie波，我们发现常数E的物理意义正是粒子的能量。•定态就是能量E确定的状态。定态下可观测量（如几率密度、几率流密度、动量几率密度等）都是稳定的（不随t变化）与玻尔原子模型中的定态概念类似，但是没有“轨道运动”假设(,)e()iEtrtr在可观测量中被约去定态薛定谔方程就是能量本征方程()()H()E()EHHrErrr算符作用于=常数乘以。叫做的本征值。含时薛定谔方程的一般解()()nnHrEriHt定态方程：含时方程：nn(,)c()eniEtnrtr一般解：常数（由初始条件定出）思考题•两个不同的定态叠加生成的态是否是定态？)(e),(),(e),(221121rtrrtrtEitEi提示：4.波函数应满足的条件•从波函数的几率解释以及波函数满足二阶微分方程这一要求，一般地说，波函数应该满足以下三个条件：•(1)单值性；•(2)有限性；•(3)连续性。•连续性通常意味着和都连续，但在势能有无穷大跳跃的地方，允许不连续。§2.3一维运动问题的一般分析1.一维定态薛定谔方程的解的一般性质.0))((2222xUEdxd二阶常微分方程，容易求解它的解有如下的规律Wronskian定理•若都是方程的解(能量相同)，则(c是与x无关的常数)，称为Wronskian定理。与)(1x)(2x1221c()ddxWronskian定理的证明）（定理：c1221证明：定态方程的两个解满足)2(0)]([2)1(0)]([2222121＝＝xUExUE12122112211221(2)(1)0'')'0,''c即(因此另外两个定理•共轭定理：若是定态行薛定谔程的解，则也是该方程的解(且能量E相同)。•反射定理：对(原点对称的势)，那么若是该方程的解，则也是该方程的解(且能量E相同)。)(x)(*x()()UxUx()x)(x（由定态薛定谔方程可以直接证明，请自己完成）2.一维定态的分类——束缚态与非束缚态x0)(x束缚态：相反的情况是非束缚态（或称为散射态）22[()]0EUx＝Ex和)(UE(),U条件：()Ux能量()U例子•束缚态：原子中的“束缚”电子•人工量子微结构•束缚态几率分布被限制在有限的空间范围内。•非束缚态：如自由电子；从原子中电离出去的电子3.一维束缚态的一般性质•先引入一个概念－简并与非简并–如果对一个给定的能量，只有一个线性独立的波函数存在（即只有一个状态），则称该能级是非简并的，否则称它是简并的，其线性独立的波函数的个数称为它的简并度。线性独立的定义：对常数c1，c2一状态）为线性相关（即代表同、，称，使、相反，若存在非零的状态）。线性独立（即代表不同与，则称＝时才有＝＝若仅当12112122121221121C/*00cccccccc一维束缚态不简并定理•定理：一维束缚态必是非简并态（可以由Wronskian定理证明）。En()nx不简并定理的证明证明（反证法）：假设简并，则方程有两个线性独立的解，但是由122112x000cc常数（与无关）束缚态无穷远处、Wronskian定理：1212211212()()()xCxCx积分。为积分常数（无关）。两个函数不是线性独立的（对应同一个状态），因此不简并。与题设矛盾，故定理得证。*更严格的证明应该考虑波函数有节点（为零的点）的情况，这时需要分段考虑每个节点之间的区域，再利用波函数连续性条件证明以上常数C对每一段是同一个常数（可参考曾谨言量子力学卷1，83页）对定理的补充说明（1）此定理仅对一维情况成立；二维、三维束缚态的能量仍然可能简并（如氢原子、二维、三维谐振子等）；（2）非束缚态的能量一般是简并的。两个推论•推论1：一维束缚态波函数的相位必是常数。即•因此波函数可以取为实函数()|()|ixxex与无关•推论2(宇称定理)：如果则一维束缚态波函数必有确定的宇称（奇偶性）。)()(xUxU宇称的定义()()(),xxx若满足则称“”——偶宇称（或正宇称）“”——奇宇称（或负宇称）作业•作业(补充题2.2)：证明本节中的推论1和推论2。•p.52,#2.2，注意：在球坐标中,.sin11rererer提示*()*()()(-)()xxxxx对推论1，可以先证明也是可以存在的状态（即证明它满足定态薛定谔方程），再由一维束缚态不简并定理知和是同一状态。对推论2，考虑和的关系，类似可证。下次课内容•2.4一维无限深势阱、有限深势阱•2.5线性谐振子