例谈勾股定理在图形翻折问题中的应用

1例谈勾股定理在图形翻折问题中的应用翻折问题是近年来各地中考中的常见题型，它主要考察学生的逻辑推理能力、空间想象能力，以及所学有关知识的灵活应用能力．一般翻折问题中，图形中往往会出现直角三角形，此时，若灵活运用勾股定理，可能使问题迎刃而解，本文通过几道中考题来说明这一解题技巧．一、直接解题例1在平面直角坐标系中，已知直线y＝－34x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C(0，n)是y轴上一点．把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是()．(A)（0，34）(B)（0，43）(C)(0，3)(D)(0，4)评注例1解题的关键是，在Rt△COD中根据勾股定理建立关于n的方程，求出n，从而得到点C的坐标．例2如图2，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕EF的长为_______cm．2评注解法一直接在Rt△COF中应用勾股定理，求出EF的长，解法二先构造Rt△EGF，再在Rt△EGF中应用勾股定理求出EF的长．二、间接解题例3如图3，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若点B的坐标为(1，2)，则点D的横坐标是_________．3所以点D的横坐标是－35．例4如图4，有一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，将矩形纸片先沿对角线BD对折，点C落在点C'的位置，BC'交AD于点G．(1)求证：AG＝C'G；(2)如图5，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．评注例3和例4(2)都是利用相似三角形对应线段成比例建立关系式求解，困难之处在于有部分线段的长度还不知道，运用勾股定理则可化解这一难点．例5如图6，ABCD是一张矩形纸片，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．(1)若∠1＝70°，求∠NKM的度数；4(2)△MNK的面积能否小于12？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你探究可能出现的情况，求出最大值．评注问题(3)中，两种翻折情况均是先利用勾股定理求出KN的长，再借助求KN的最大值求△MNK面积的最大值．