典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换

1成绩评定表学生姓名中国好学长班级学号专业通信工程课程设计题目典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换评语组长签字：成绩日期2016年7月日2课程设计任务书学院信息科学与工程学院专业通信工程学生姓名班级学号课程设计题目典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换实践教学要求与任务:1、学习Matlab软件及应用；2、学习并研究拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换有关理论；3、利用Matlab编程，完成拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换分析与处理；4、写出课程设计报告，打印程序，给出运行结果。工作计划与进度安排:第1-2天：1、学习使用Matlab软件、上机练习2、明确课题内容，初步编程第3-5天：1、上机编程、调试2、撰写课程设计报告书3、检查编程、运行结果、答辩4、上交课程设计报告指导教师：2016年7月6日专业负责人：2016年7月6日学院教学副院长：2016年7月6日3目录1.Matlab介绍...............错误!未定义书签。2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计....................52.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制..........................................................................................52.2.拉普拉斯变化编程设计及实现......................................................................................72.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现..................................................................................83.总结.....................................144.参考文献.................................1541．Matlab介绍MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件；它起源于矩阵运算，现已发展成一种高度集成的计算机语言；它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境，以及与其他程序和语言便捷接口的功能。经过多年的开发运用和改进，MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。典型的用途包括以下几个方面：1）数学计算；2）新算法研究开发；3）建模、仿真及样机开发；4）数据分析、探索及可视化；5）科技与工程的图形功能；6）友好图形界面的应用程序开发。1.1Matlab入门Matlab7.0介绍Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。在国内外Matlab已经经受了多年的考验。Matlab7.0功能强大，适用范围很广。其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算，复数运算，高次方程求根，插值与数值微商运算，数值积分运算，常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等，即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算，均可用Matlab来解决。MATLAB7.0提供了丰富的库函数（称为M文件），既有常用的基本库函数，又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。函数即是预先编制好的子程序。在编制程序时，这些库函数都可以被直接调用。无疑，这会大大提高编程效率。MATLAB7.0的基本数据编程单元是不需要指定维数的复数矩阵，所以在MATLAB环境下，数组的操作都如数的操作一样简单方便。而且，MATLAB7.0界面友好，用户使用方便。首先，MATLAB具有友好的用户5界面与易学易用的帮助系统。用户在命令窗里通过help命令可以查询某个函数的功能及用法，命令的格式极为简单。其次，MATLAB程序设计语言把编辑、编译、连接、执行、调试等多个步骤融为一体，操作极为简单。除此之外，MATLAB7.0还具有强大的图形功能，可以用来绘制多姿多彩的图形，直观而形象。综上，在进行信号的分析与仿真时，MATLAB7.0无疑是一个强大而实用的工具。尤其对于信号的分析起到了直观而形象的作用，非常适合与相关课题的研究与分析2利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计2.1拉普拉斯变换曲面图的绘制连续时间信号)(tf的拉普拉斯变换定义为:0)()(dtetfsFst（6-1）其中js，若以为横坐标（实轴），j为纵坐标（虚轴），复变量s就构成了一个复平面，称为s平面。显然，)(sF是复变量s的复函数，为了便于理解和分析)(sF随s的变化规律，可以将)(sF写成：)()()(sjesFsF（6-2）其中，)(sF称为复信号)(sF的模，而)(s则为)(sF的幅角。从三维几何空间的角度来看，)(sF和)(s对应着复平面上的两个平面，如果能绘出它们的三维曲面图，就可以直观地分析连续信号的拉普拉斯变换)(sF随复变量s的变化规律。上述过程可以利用MATLAB的三维绘图功能实现。现在考虑如何利用MATLAB来绘制s平面的有限区域上连续信号)(tf的拉普拉斯变换)(sF的曲面图，现以简单的阶跃信号)(tu为例说明实现过程。6我们知道，对于阶跃信号)()(tutf，其拉普拉斯变换为ssF1)(。首先，利用两个向量来确定绘制曲面图的s平面的横、纵坐标的范围。例如可定义绘制曲面图的横坐标范围向量x1和纵坐标范围向量y1分别为：x1=-0.2:0.03:0.2;y1=-0.2:0.03:0.2;然后再调用meshgrid()函数产生矩阵s，并用该矩阵来表示绘制曲面图的复平面区域，对应的MATLAB命令如下：[x,y]=meshgrid(x1,y1);s=x+i*y;上述命令产生的矩阵s包含了复平面2.02.0，2.02.0j范围内以时间间隔0.03取样的所有样点。最后再计算出信号拉普拉斯变换在复平面的这些样点上的值，即可用函数mesh()绘出其曲面图，对应命令为：fs=abs(1./s);mesh(x,y,fs);surf(x,y,fs);title('单位阶跃信号拉氏变换曲面图');colormap(hsv);axis([-0.2,0.2,-0.2,0.2,0.2,60]);rotate3d;执行上述命令后，绘制的单位阶跃信号拉普拉斯变换曲面图如图1所示。72.2拉普拉斯变化编程设计及实现已知连续时间信号)()sin()(tuttf，求出该信号的拉普拉斯变换，并利用MATLAB绘制拉普拉斯变换的曲面图。解：该信号的拉普拉斯变换为：11)(2ssF利用上面介绍的方法来绘制单边正弦信号拉普拉斯变换的曲面图，实现过程如下：绘制单边正弦信号拉普拉斯变换曲面图程序图2单边正弦信号拉氏变换曲面图8clf;a=-0.5:0.08:0.5;b=-1.99:0.08:1.99;[a,b]=meshgrid(a,b);d=ones(size(a));c=a+i*b;%确定绘制曲面图的复平面区域c=c.*c;c=c+d;c=1./c;c=abs(c);%计算拉普拉斯变换的样值mesh(a,b,c);%绘制曲面图surf(a,b,c);axis([-0.5,0.5,-2,2,0,15]);title('单边正弦信号拉氏变换曲面图');colormap(hsv);上述程序运行结果如图2所示。2.3拉普拉斯逆变化编程设计及实现连续信号)(tf的拉普拉斯变换具有如下一般形式：LiiiKjjjsdscsDsCsF11)()()(若LK，则)(sF可以分解为有理多项式与真分式之和，即NiiiMjjjsasbsPsAsBsPsRsPsF11)()()()()()()(9其中，)(sP是关于s的多项式，其逆变换可直接求得（冲激信号及其各阶导数），)(sR为关于s的有理真分式，即满足NM。以下进讨论NM的情况。设连续信号)(tf的拉普拉斯变换为)(sF，则NiipssBsAsBsF1)()()()()(在满足NM情况下，有以下几种情况（1）极点均为单重情况下，可对其直接进行部分分式展开得：NNpsrpsrpsrsF2211)(其中，),,2,1()()(NisFpsripsii称为有理函数)(sF的留数。则)(sF的拉普拉斯逆变换为：10)()(1tuertfNitipi（2）有k重极点，设为1p，则部分分式展开为)()()()()()(111112111sDsEpsKpsKpsKsFkkkiK1可用下式求得11111)()()!1(1pskiiisFpsdsdiK则)(sF的拉普拉斯逆变换为：)()()!()(211tuertuetjkKtfNitipikjtipjkj（3）有共轭极点NNtfpsrpsrpsrpsrsF32)(22211)(设)(sF有一对共轭极点jp2,1，则jpsersFpsr1111)()(*12rr由共轭极点所决定的两项复指数信号可以合并成一项，故有)()cos(2)(12tutertft从以上分析可以看出，只要求出)(sF部分分式展开的系数（留数）ir，就可直接求出)(sF的逆变换)(tf。11上述求解过程，可以利用MATLAB的residue()函数来实现。令A和B分别为)(sF的分子和分母多项式构成的系数向量，则函数：[r,p,k]=residue(B,A)将产生三个向量r、p和k，其中p为包含)(sF所有极点的列向量，r为包含)(sF部分分式展开系数ir的列向量，k为包含)(sF部分分式展开的多项式的系数行向量，若NM，则k为空。例：已知连续信号的拉普拉斯变换为：ssssF442)(3试用MATLAB求其拉普拉斯逆变换)(tf。解：MATLAB命令如下：a=[1040];b=[24];[r,p,k]=residue(b,a)运行结果：r=-0.5000-0.5000i-0.5000+0.5000i1.0000p=0+2.0000i0-2.0000i0k=[]由上述结果可以看出，)(sF有三个极点22,1jp，03p，为了求得共轭极点对应的信号分量，可用abs()和angle()分别求出部分分式展开系数的模和幅角，命令如下：abs(r)ans=120.70710.70711.0000angle(r)/pians=-0.75000.75000由上述结果可得)()]432cos(21[)(tuttf。例：求下式函数的逆变换3)1(2)(ssssF解：MATLAB程序如下：a=[13310];b=[1-2];[r,p,k]=residue(b,a)运行结果：r=2.00002.00003.0000-2.0000p=-1.0000-1.0000-1.00000k=13[]则sssssF2)1(3)1(2)1(2)(32，对应的逆变换为)(]2)2223[()(2tuetttft143.总结通过本次综合实践让我们在学习“信号与系统”课程的同时，掌握MATLAB的应用，对MATLAB语言在中的推广应用起到促进作用。从而将便多的时间留于对信号与系统的基本分析方法和应用的理解与思考学会应用MATLAB的数值计算功能，将学生从繁琐的数学运算中解脱出来，从而将便多的时间留于对信号与系统的基本分析方法和应用的理解与思考。让我们将课程中的重点、难点及部分课后练习用MATLAB进行形象、直观的可视化计算机模拟与仿真实现，从而加深对信号与系统基本原理、方法及应用的理解，以培养学生主动获取知识和独立解决问题的能力，为学习后继专业课