线性代数基本定理

线性代数基本定理行列式1、对于线性方程组，若系数行列式的值D≠0，则方程组有唯一解。2、若线性方程组的系数行列式D≠0，则方程组有唯一解。3、若线性方程组无解或有无穷多个解，则它的系数行列式必为零。4、若齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组只有0解，没有非零解。5、若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零，即D=0。矩阵1、方阵为满秩矩阵的充分必要条件是|A|≠0；（方阵A可逆的充分必要条件是A为满秩矩阵）。2、设A是m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0有非零解得充分必要条件为R（A）＜n。向量组的线性相关性1、一个向量线性相关的充分必要条件是α=0；α是线性无关的充分必要条件是α≠0。两个向量线性相关的充分必要条件是它们对应的分量成比例。2、向量b能由向量组α1，α2，…，αn线性表示的充分必要条件是：线性方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=b有解。3、向量组α1，α2，…，αn线性相（无）关的充分必要条件是齐次线性方程组有（无）非零解。阐述：根据向量线性相关的定义，若向量组α1，α2，…，αn线性相关，则存在一组不全为零的数λ1，λ2，…，λn，使λ1α1+λ2α2+…+λnαn=0,即齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=0有非零解。反之，若齐次方程组有非零解，则向量组线性相关。向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组仅有零解。4、n个n维向量线性相关的充分必要条件是它们排成的n阶行列式的值等于零。5、当m＞n时，m个n维向量一定线性相关。6、向量组线性无关的充分必要条件是向量组的秩等于该向量组所含向量的个数；向量组线性相关的充分必要条件是向量组的秩小于该向量所含向量的个数。7、向量组与它的任意一个极大无关组等价。8、一个向量组的任意两个极大无关组等价。9、若向量组A能由向量组B线性表示，则R(A)≤R(B)，即“秩小的可以表示秩大的”。如何求行向量组的一个极大无关组？把行向量组转置变成列向量组，组成一个矩阵A，再对A进行初等行变换化成行阶梯形矩阵B，则B所对应的非零行中第一个不等于0的数所在的列对应的列向量组就是它的一个极大无关组。方法二：可以直接作为行组成矩阵，此时要进行初等列变换才行。——百度知道线性方程组1、设A是m×n的矩阵，齐次方程组Ax=0有费玲姐的充要条件是r(A)＜n（n即未知数的个数），亦即A的列向量线性相关。2、如果A是n阶矩阵，Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0。3、Ax=0有非零解的充分条件是m＜n（即方程个数＜未知数个数）。4、设A是m×n矩阵，方程组Ax=b，则（1）有唯一解等价于r(A)=增广矩阵的秩=n（2）有无穷多解等价于r(A)=增广矩阵的秩＜n（3）无解等价于r(A)+1=增广矩阵的秩等价于b不能由A的列向量线性表出5、如Ax=b有唯一解，则Ax=0只有零解；反之，当Ax=0只有零解时，Ax=b没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解）