备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 专题40 空间中线线角、线面角的求法 Word版含

-1-【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重.其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解.在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一空间中线线角的求法方法一平移法使用情景：空间中线线角的求法解题模板：第一步首先将两异面直线平移到同一平面中；第二步然后运用余弦定理等知识进行求解；第三步得出结论.例1在右图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）C1D1B1A1NMDCBAA．30°B．60°C．90°D．45°【答案】B.考点：异面直线所成角.点评：异面直线所成角的【变式演练1】如图，四边形ABCD是矩形，沿直线BD将ABD翻折成'ABD，异面直线CD与'AD所成的角为,则（）-2-A．'ACAB．'ACAC.'ACDD．'ACD【答案】B【解析】试题分析：将DC平移到AB,则由异面直线所成角的定义可知ABA/就是异面直线所成角,则CAAABA//,即'ACA,故应选B.考点：异面直线所成角的定义及运用.【变式演练2】在正方体1111DCBAABCD中，异面直线1BC与1CD所成角的余弦值为A．21B．22C．23D．21【答案】D考点：异面直线所成角【变式演练3】设三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，90BCA，2BCCA，若该棱柱的所有顶点都在体积为323的球面上，则直线1BC与直线1AC所成角的余弦值为（）-3-A．23B．23C．53D．53【答案】B【解析】考点：三棱柱外接球、异面直线所成角．【方法点睛】构造长方体或正方体确定球心：⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.方法二空间向量法使用情景：空间中线线角的求法解题模板：第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步然后求出所求异面直线的空间直角坐标；第三步再利用cosabab即可得出结论.例2、如图，直三棱柱111ABCABC中，13ACBCAA，ACBC，点M在线段AB上.（1）若M是AB中点，证明：1//AC平面1BCM；（2）当2BM时，求直线11CA与平面1BMC所成角的正弦值-4-【答案】（1）详见解析（2）63【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如本题利用三角形中位线性质得线线平行（2）求线面角，一般利用空间向量进行计算，先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出面的法向量，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余的关系求解.（II）1,ACBCCCABC平面,故如图建立空间直角坐标系1(033),(300),(030),(000)BABC，，，，，，，，,32BA,13BMBA=1(1,1,0),(0,3,0)(1,1,0)(1,2,0)3BMBACMCBBM==-=+=+-=，-5-令平面1BMC的法向量为(,,)nxyz=，由100nCBnCM，得020yzxy设1z=所以(2,1,1)n=-,11(3,0,0)CACA==，设直线11CA与平面1BMC所成角为1111||66sin3||||3411CAnCAnq×===++故当2BM=时，直线11CA与平面1BMC所成角的正弦值为63.考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.例3、如图，正方形AMDE的边长为2，BC、分别为线段AMMD、的中点，在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PDPC、分别交于点GH、．（1）求证：//ABFG；（2）若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小．【答案】（1）详见解析（2）6【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几条件，如本题利用正方形性质得//ABDE，从而有//AB平面PDE．而线线平行的证明，一般利用线面平行性质定理，即从两平面交线出发给予证明（2）利用空间向量解决线面角，一般先建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，再根据向量数量积求夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系求大小.-6-则00nABnAF，即00xyz，令1z，则1y，所以0,1,1n．设直线BC与平面ABF所成角为，则1sincos,2nBCnBCnBC，因此直线BC与平面ABF所成角的大小为6．考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【变式演练4】已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为______．【答案】36-7-考点：异面直线及其所成的角【变式演练5】如图，在三棱柱111ABCABC中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，4AB,16AA.若E，F分别是棱1BB，1CC上的点，且1BEBE，1113CFCC，则异面直线1AE与AF所成角的余弦值为（）A．36B．26C．310D．210【答案】D【解析】-8-考点：线面角.类型二空间中线面角的求法方法一垂线法使用情景：空间中线面角的求法解题模板：第一步首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角；第三步得出结论.例3如图，四边形ABCD是矩形，1,2ABAD，E是AD的中点，BE与AC交于点F，GF平面ABCD.GFEDCBA（Ⅰ）求证：AF面BEG；（Ⅱ）若AFFG，求直线EG与平面ABG所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）155．【解析】试题分析：（Ⅰ）要证AF与平面BEG垂直，只要证AF与平面内两条相交直线垂直，由已知GF垂直于底面ABCD，有GF垂直AF，另外可以在矩形BACD中证明BE垂直于AC（可用相似三角形证明角相等）；（Ⅱ）求直线EG与平面所成角的正弦，可用体积法求出E到平面-9-ABG的距离d，则dEG就是所求正弦值，而求棱锥EABG的体积可通过13GABEABEVSGF来求得．证法2：（坐标法）证明1BEACKK，得BEAC，往下同证法1．证法3：（向量法）以ABAD,为基底，∵ABADBEABADAC21,，0ABAD∴)21()(ABADABADBEAC2221ABAD01221∴BEAC，往下同证法1．-10-考点：线面垂直的判定，直线与平面所成的角．Com]【点评】解决直线与平面所成的角的关键是找到直线上的点到平面的射影点，构造出线面角.【变式演练6】已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等,1A在底面ABC内的射影为ABC的中心,则1AB与底面ABC所成角的正弦值为（）A．13B．23C．33D．23【答案】B-11-考点:直线与平面所成的角．【变式演练7】在四面体ABCD中，ABAD，1ABADBCCD，且ABDBCD平面平面，M为AB中点，则CM与平面ABD所成角的正弦值为（）A．22B．33C．32D．63【答案】D考点：1．平面与平面垂直；2．直线与平面所成的角．方法二空间向量法使用情景：空间中线面角的求法解题模板：第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；-12-第三步再利用absinab即可得出结论.例4正四棱柱1111CDCD中，12，则CD与平面1DC所成角的正弦值等于（）A．23B．33C．23D．13【答案】A考点：直线与平面所成的角.点评：空间向量法解直线与平面所成的角的关键是正确的写出各点的空间直角坐标和平面的法向量的坐标形式.【变式演练8】已知四棱锥PABCD中，底面为矩形，PA底面ABCD，1PABC，2AB，M为PC上一点，且BP平面ADM.（1）求PM的长度；（2）求MD与平面ABP所成角的余弦值.-13-【答案】（1）56（2）35cos【解析】试题分析：（1）利用空间向量求线段长度，首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量的模求线段长度（2）求线面角，也可利用空间向量，即首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出面的法向量，根据向量数量积求直线与法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系求线面角的正弦值，再根据诱导公式求余弦值。试题解析：解：（1）如图所示建立空间直角坐标系，-14-(2)因为)54,51,52(M，则)54,51,52(MD，因为面ABP的一个法向量)0,1,0(n，令MD与面ABP成角为，则322516251625454sin，故35cos.考点：利用空间向量求线段长度及线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【高考再现】1.【2016高考新课标1卷】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,I平面ABCD=m,I平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦值为(A)32(B)22(C)33(D)13【答案】A-15-考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.2.【2016高考天津理数】（本小题满分13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG∥平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.-16-【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）33（Ⅲ）721【解析】试题解析：依题意，OFABCD平面，如图，以O为点，分别以,,ADBAOF的方向为x轴，y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O，1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)ABCDEFG，.-17-（I）证明：依题意，(2,0,0),1,1,2ADAF.设1,,nxyz为平面ADF的法向量，则1100nADnAF，即2020xxyz.不妨设1z，可得10,2,1n，又0,1,2EG，可得10EGn，又因为直线EGADF平面，所以//EGADF平面.（III）解：由23AHHF，得25AHAF.因为1,1,2AF，所以2224,,5555AHAF，