初二代数方程拓展(难)

代数方程拓展题型基本思想特殊方法题型一、二次三项式的因式分解(1)若方程02cbxax的两根为21,xx，则二次三项式cbxax2可分解为：cbxax2=))((21xxxxa(2)推导出公式=a（x-x1）（x-x2）步骤：1.形如，可令①若，则方程有两个实数解1x和2x，则②若，则在实数范围内无法再分解因式。2.形如，可令（此处将看成未知数，而作为一个参数）注意：1、分解因式时a不能去掉，这和解方程不是一回事；2、是x与两根之差的积，不是和。例1把分解因式。代数方程的解法1、消元：将多元化成一元2、降次：将高次降成低次换元法、因式分解法、公式法、配方法、配项法、有理化法、变更主元法等解：∵方程的根是(PS:写成如上形式即可)例2把分解因式。22)5(24)8(8的根是0582的方程解：关于2222yyyxyxyxxyyy2644628)264)(264(258222yxyxyxyx分析：将y看作常数，将原式看成是关于x的二次三项式。巩固练习1、把aba631922在实数范围内分解因式，正确的是()(A))313)(313(baba(B))313)(313(baba(C))313)(313(baba(D))313)(313(baba2、在实数范围内分解因式：2223yxyx_________________。3、在实数范围内分解因式：3)4)(2)(3)(1(xxxx。题型二：高次方程（一）一元高次方程的特点：（1）整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）含未知数的项最高次数大于2。一般的，如果)())((210nxxxxxxa=0，则：01xx或02xx或……0nxx；nnnnaxaxaxa1110=)())((210nxxxxxxa则nxxx,,21是方程nnnnaxaxaxa1110=0的n个根。解高次方程的基本思想：化高次为低次（二）常用方法：（1）因式分解法；把高次方程化成A=0的形式，再把A分解因式，即)())((210nxxxxxxa=0，所以：01xx或02xx或…0nxx例1解方程解：原方程可变形为，所以．说明：当ad=bc≠0时，形如的方程可这样解决：令，则于是方程可化为：即．方程也可以用类似方法处理．针对练习：1、21320nnnxxx的解是_________________。2、方程0105223xxx的解是_______________。3、543222240xxxxx的解是__________________。方法思路：按照从高到低降次排列，提公因式或者分组分解。（系数成一定的比例更方便提取公因数）（2）换元法；通过换元把高次方程化为次数较低的方程，这种方法在高次方程、分式方程、无理方程、方程组中都很有用处，这种方法应该掌握，根据题目的特点合理加以利用。例2解方程．分析：如果将式子展开再用因式分解法，显然计算量过大，不显示，故而要寻求别的方法。观察左边4个因式，看如何两两组合相乘，能产生相同的项？解：把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得：设，则即解得1215,5yy将1215,5yy分别代入中得，所以12345855855555,,,2222xxxx思考：对于这种形式的方程，你找到规律了吗？针对练习：1、解方程42200xx。2、方程1784)32(222xxxx的解是___________________。3、方程1)4)(3)(2)(1(xxxx的解是___________________。题型三、分式方程拓展（一）分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。注意：分式的分母不能为0。解分式方程的基本思想：化分式方程为整式方程（二）常用方法：（1）直接去分母法；步骤：1、分子分母能因式分解的先因式分解；2、找所有分式的最简公分母；3、方程两边都乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程；4、解整式方程；5、验根（将根代入到最简公分母，看最简公分母是否为0）；6、下结论。例1解方程21421224xxxx．分析：去分母，转化为整式方程．解：原方程可化为：14212(2)(2)2xxxxx方程两边各项都乘以24x：2(2)42(2)4xxxx即2364xx，整理得：2320xx解得：1x或2x．检验：把1x代入24x，不等于0，所以1x是原方程的解；把2x代入24x，等于0，所以2x是增根．所以，原方程的解是1x．（2）换元法；解题思路：用换元法将原方程变形，然后去分母，化为整式方程，求出新方程的解，最后代入换元的式子，再求根验根。一般应用于较为复杂，直接去分母会导致计算量过大的方程，以下举例均为常见的题型。例2解方程22228(2)3(1)1112xxxxxx．分析：注意观察方程特点，可以看到分式2221xxx与2212xxx互为倒数．因此，可以设2221xxyx，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程．解：设2221xxyx，则22112xyxx原方程可化为：2338118113018yyyyyy或．(1)当1y时，22222112121xxxxxxx；(2)当38y时，2222223181633516303851xxxxxxxxxx或．检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．所以，原方程的解是12x，3x，15x．说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想．例3121011110113100222xxxxxx分析：观察三个分式分母，有2个不能分解因式，如果直接去分母，显然不现实；观察三个分母的特点，都含有210x，故而可以考虑换元。注意体会本题中的解题思想。解：设方程转化为解得y=（注意，既然换元了，就暂且将y理解成未知数，x为参数）=-7x解得12342,5,2,5xxxx经检验，12342,5,2,5xxxx均为元方程的根例4解方程时，设03855)1(622xxxx分析：如果直接去分母，将变成高次方程。观察题目特点，有1xx，221xx，可考虑配方，换元。解：原方程化为22116(2)5()500xxxx令1yxx，则原方程化为265500yy解得：12510,23yy将152y代入1yxx解得，12,x212x；将2103y代入1yxx解得，3413,3xx经检验，12,x212x，3413,3xx均为原方程的根巩固练习:解下列方程（1）2231712xxxx（答案：12341,2,12,122xxxx）（2）22272720xxxx（答案：12341,2,12,122xxxx）（3）222111011828138xxxxxx（答案：12341,1,8,8xxxx）（3）倒数法解题思路：观察方程，形如：AAxx11的形式，可直接得出AxAx1，或。例5已知：2212121xxxx，求____________。分析：已知条件中，x，1x互为倒数212212，其中212，互为倒数关系，利用此关系，可有下面解法。解：xx1212，414414121222xxxx，或例6解方程：21323221174xxxx分析：方程的左边两项为倒数之和，因此可用倒数法简化求解，设213232211xxyxxy，则解：原方程变形为yy1414yy414或当y4时，则21324xx，解之得x1910当yxx14213214时，则，解之得x265经检验xx1291065，是原方程的根。拓展公式：ccxx11的解是;1,21cxcxccxx11（即ccxx11）的解是;1,21cxcxccxx22的解是;2,21cxcxccxx33的解是;3,21cxcx思考（１）请观察上述方程的特征，比较关于x的方程)0(mcmcxmx与他们的关系，猜想它的解是什么，（２）请利用这个结论解关于x的方程1212aaxx。（4）分组通分法；解题思路：当分母相邻两个的差相等，且分子可化为相同时，先分组通分，会使计算更简便。例7解方程11111234xxxx解：（检验）例8解方程65322176xxxxxxxx解：（分离常数）（思考为何要移项相减？）步骤同上题（检验）巩固练习：解方程（1）11117236xxxx（2）94587236xxxxxxxx（三）分式方程与增根相关的问题1、分式方程的增根同时满足两个条件：（1）是由分式方程化为整式方程的根。（2）使最简公分母为0。2、增根与无解的区别联系：分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解。例1若方程)1)(1(6xx-1xm=1有增根，则它的增根是（）A、0B、1C、-1D、1或-1分析：使方程的最简公分母,但不能忽略增根除满足最简公分母为零,还必须是所化整式方程的根。解：原方程易化成整式方程：整理得：当时,此时m无解；当时,解得m=3。由此可得答案为B。注意：-1虽然能使分母为零，但是它不是原方程的根。例2已知关于x的方程无解，求m的值。解：先把原方程化为（1）若方程（1）无解，则原方程也无解，方程（1）化为，当，而时，方程（1）无解，此时。若方程（1）有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，所以，当方程（1）的解为时原方程无解，代入方程（1），得，故。综合以上，当或时，原方程无解。m=1原方程无解，m=3原方程产生增根。注意：原方程无解包括两种情况：原方程本身就无意义，原方程的解全部是增根。（1）由增根求参数的值这类题的解题思路为：1、将分式方程去化成整式方程（方程两边同时乘以最简公分母）2、确定增根（题目已知或使分母为零的未知数的值）3、将可能的增根分别代入整式方程，求出参数的值（增根是由分式方程化成的整式方程的根）例3已知关于x的方程有增根，求k的值。解：把原方程去分母，化为。（1）因为原方程的最简公分母是，所以方程的增根可能是或若增根为，代入方程（1），得，；若增根为，代入方程（1），得，。故当或时，原方程会有增根。（2）由分式方程根的情况，求参数的取值范围这类题的解题思路为：1、将原方程化为整式方程。2、把参数看成常数求解。3、根据根的情况，确定参数的取值范围。（注意要排除增根时参数的值）例4关于x的方程3xx-2=3xm有一个正数解，求m的取值范围。分析：把m看成常数求解，由方程的解是正数，确定m的取值范围，但不能忽略产生增根时m的值。原方程易化为整式方程：，整理得：，∵原方程有解，故不是增根。由此可得答案为m的取值范围是综上所述关于增根的问题，一定要弄清楚增根的定义，及增根必须满足的条件，和解这类题的思路。巩固练习1、当m=____________时，