椭圆的复习课件

椭圆复习课知识点归纳一.椭圆的定义在椭圆的定义中,要特别注意:当时,动点的轨迹是线段当时,动点的轨迹不存在.21FF21212FFaPFPF21212FFaPFPF21212FFaPFPF1.椭圆的第一定义{P|}21212FFaPFPF2.椭圆的第二定义应用：解决与焦半径有关的问题离心率到准线的距离动点：焦点其中:,:,)10(eMdFeedMFM（2）面积：PF1F2设∠F1PF2=θ，则S=1/2|PF1||PF2|sinθ|PF1|+|PF2|=2a(1)|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ=4c2(2)(1)2-(2)得：|PF1||PF2|=2b2/(1+cosθ)∴S=b2tanθ/23.焦点三角形（1）周长:2(a+c)（1）已知椭圆x2+9y2=9的两个焦点分别为F1，F2,∠F1PF2=60º，则∆PF1F2的面积是()33二.椭圆的方程椭圆的标准方程)0(12222babyax（1）焦点在x轴上：)0(12222babxay（2）焦点在y轴上：（3）统一形式:mx2+ny2=1(m0,n0,m≠n)（4）Ax2+By2=C表示椭圆的充要条件为：A，B，C同号且A≠B三.椭圆的几何性质:方程范围顶点(±a,0);(0,±b)(0,±a);(±b,0)焦点F1(-c,0);F2(c,0)F1(0,-c);F2(0,c)准线x=±a2/cy=±a2/c焦半径相同点a2-b2=c2;对称性;两准线间的距离:2a2/c;焦准距:b2/c;通径:2b2/a;bybaxa,ayabxb,)10(eace)0(12222babyax)0(12222babxay01exaPFr左02exaPFr右01eyaPFr下02eyaPFr上1.椭圆是轴对称图形2.椭圆是中心对称图形A1A23.长轴│A1A2│＝2a4.短轴│B1B2│＝2bB2B1椭圆其它几何性质:5.焦距│F1F2│＝2cA1A2B1B2oF1F26.若P为椭圆上任一点，P则│PF1│＋│PF2│＝2aA1A2B1B2oF1F27.若P为椭圆上任一点，Pd1则edPF11，edPF22d2A1A2B1B2oF1F2abc8.中心，一个焦点，一个短轴端点构成直角三角形．222abc四.直线和椭圆的位置关系1.位置关系的判断：判别式法2.相交弦：（1）弦长公式：（2）中点弦问题：点差法3.点M(x0,y0)与椭圆的位置关系)0(12222babyax点M在椭圆内点M在椭圆外11220220220220byaxbyax2212121()4ABkxxxx2122124)(11yyyykAB1.已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与x轴的负半轴交于A,与y轴的负半轴交于B,F1是左焦点,F1到直线AB的距离求椭圆的离心率.177FHOB思路:设椭圆方程为)0(12222babyax寻找a,b,c的关系式.21:eKey练习题组（一）：2．椭圆＝1(ab0)的焦点F1、F2，两条准线与x轴的交点为M、N，若|MN|≤2|F1F2|，则该椭圆离心率的取值范围是________．3.若椭圆短轴的一个端点与两个焦点的连线互相垂直，则椭圆的离心率为（）224.已知椭圆的焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使，则e的范围为()221PFF122eC1.椭圆和具有相同的（）A长，短轴B焦点C离心率D顶点12222byax)0(2222kkbyax练习题组（二）：2．已知方程x2|m|－1＋y22－m＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为()A．(－∞，32)B．(1,2)C．(－∞，0)∪(1,2)D．(－∞，－1)∪(1，32)3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)、P2(－3，－2)，求椭圆的方程．4.(2008高考辽宁卷)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．(1)写出C的方程；(2)若OA→⊥OB→，求k的值．解：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b＝22－(3)2＝1，故曲线C的方程为x2＋y24＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足x2＋y24＝1，y＝kx＋1.消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.其中Δ＝4k2＋12(k2＋4)0恒成立．故x1＋x2＝－2kk2＋4，x1x2＝－3k2＋4.若OA→⊥OB→，即x1x2＋y1y2＝0.而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，于是x1x2＋y1y2＝－3k2＋4－3k2k2＋4－2k2k2＋4＋1＝0，化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±12.椭圆的综合问题1.椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点为F1(－c,0)、F2(c,0)，M是椭圆上一点，满足F1M→·F2M→＝0.(1)求离心率e的取值范围；(2)当离心率e取得最小值时，点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为52.求此时椭圆的方程．[解](1)设点M的坐标为(x，y)，则F1M→＝(x＋c，y)，F2M→＝(x－c，y)．由F1M→·F2M→＝0，得x2－c2＋y2＝0，即y2＝c2－x2①又由点M在椭圆上得y2＝b2(1－x2a2)，代入①得b2(1－x2a2)＝c2－x2，所以x2＝a2(2－a2c2)，∵0≤x2≤a2,0≤a2(2－a2c2)≤a2，即0≤2－a2c2≤1,0≤2－1e2≤1，解得22≤e≤1，又∵0e1，∴22≤e1.(2)当离心率e取最小值22时，ca＝22⇒c＝22a，a2－b2＝c2⇒a2－b2＝12a2⇒a2＝2b2，∴椭圆方程可表示为x22b2＋y2b2＝1，设点H(x，y)是椭圆上的一点，则|HN|2＝x2＋(y－3)2＝(2b2－2y2)＋(y－3)2＝－(y＋3)2＋2b2＋18(－b≤y≤b)．①若0b3，则－b－3，当y＝－b时，|HN|2有最大值b2＋6b＋9.由题意知：b2＋6b＋9＝50，b＝52－3，这与0b3矛盾．②若b≥3，则－b≤－3，当y＝－3时，|HN|2有最大值2b2＋18，由题意知：2b2＋18＝50，∴b2＝16.∴所求椭圆方程为x232＋y216＝1.2.设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F，上顶点为A，过A点与AF垂直的直线分别交椭圆与x轴负半轴于M、N两点，且AM→＝85MN→.(1)求椭圆的离心率；(2)过A、N、F三点的圆恰好与直线l：x－3y－3＝0相切，求椭圆方程．图2[解](1)设N(x0,0)，由F(c,0)，A(0，b)知FA→＝(－c，b)，AN→＝(x0，－b)∵FA→⊥AN→，∴－cx0－b2＝0，x0＝－b2c.设M(x1，y1)由AM→＝85MN→得x1＝85x01＋85＝－8b213cy1＝b1＋85＝5b13∵M在椭圆上，∴(－8b213c)2a2＋(513b)2b2＝1整理得2b2＝3ac即2(a2－c2)＝3ac，两边同除以a2，得2－2e2＝3e即2e2＋3e－2＝0，解得e＝12或e＝－2(舍去)∴椭圆的离心率为12.(2)由2b2＝3acca＝12得c＝a2，F(a2，0)，N(－32a,0)∴△AFN外接圆圆心为(－12a,0)，半径为a，∵圆与直线x－3y－3＝0相切，∴|－a2－3|2＝a，解得a＝2，∴c＝1，b＝3，∴椭圆方程为x24＋y23＝1.知识复习自我小结＠大脑形成网络＠如何理解重点＠加强克服难点＠针对薄弱环节＠同学互相交流＠…………1.已知椭圆A(4,0),B(2,2)是椭圆内的两点,P是椭圆上任意一点.求(1)的最小值;(2)的最大值和最小值.PBPA45PBPA192522yx作业2.已知椭圆上不同的三点A(x1,y1),B(4,9/5),C(x2,y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列.(1)求证:x1+x2=8;(2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T,求直线BT的斜率.192522yx3.设椭圆与两坐标轴的正向交于A、B，在椭圆的AB弧上求一点P，使四边形OAPB的面积最大．∴方案一设P(x,y)联结OP，四边形OAPB的面积可分为∆OAP和∆OPB∴∴方案二设P(5cost,4sint),联结OP，四边形OAPB的面积可分为∆OAP和∆OPB4.椭圆,与直线相交于A,B两点,C是AB的中点,若,OC斜率为(O为原点),试确定椭圆的方程.1yx122nymx22AB220122nnxxnm得解:法一:由方程组1yx122nymx设:11,yxA22,yxB00,yxC则nmnxx221nmnxx121nmmnmnxxyy22222121nmnxxx2210nmmyyy2210又2122121422xxxxxxAB2222nmmnnm2nmnnmn14222由题设得:22nm1解(1)(2)得32n31m132322yx所以,椭圆方程为解法二:由得OC的方程为xy22由方程组1yxxy2212,22C解得又由方程组1yx122nymx得0122nnxxnmmn222221nmnxx122112212xxAB12nmmnnm得2解(1)(2)得32n31m132322yx所以,椭圆方程为法三:由方程组1yxxy2212,22C解得所以直线L的倾斜角为1ABk01352BCAC又知C是AB的中点,所以22AB即2,21A同理求出点22,23B将A,B坐标代入椭圆方程122nymx得1222322nm122122nm解(1)(2)得32n31m132322yx所以,椭圆方程为