基于MATLAB数值分析实验报告

基于MATLAB数值分析实验报告班级：072115姓名：李凯学号：20111003943实验二：矩阵与向量运算实验目的：在MATLAB里，会对矩阵与向量进行加、减、数乘、求逆及矩阵特征值运算，以及矩阵的LU分解。设A是一个n×n方阵，X是一个n维向量，乘积Y=AX可以看作是n维空间变换。如果能够找到一个标量λ，使得存在一个非零向量X，满足：AX=λX（3.1）则可以认为线性变换T（X）=AX将X映射为λX，此时，称X是对应于特征值λ的特征向量。改写式（3.1）可以得到线性方程组的标准形式：（A-λI）X=0（3.2）式（3.2）表示矩阵（A-λI）和非零向量X的乘积是零向量，式（3.2）有非零解的充分必要条件是矩阵（A-λI）是奇异的，即：det(A-λI)=0该行列式可以表示为如下形式：a11–λa12…a1na21a22–λ…a2n=0(3.3)…………An1an2…ann将式（3.3）中的行列式展开后，可以得到一个n阶多项式，称为特征多项式：f(λ)=det(A-λI)=(-1)n(λn+c1λn-1+c2λn-2+…+cn-1λ+cn)(3.4)n阶多项式一共有n个根（可以有重根），将每个根λ带入式（3.2），可以得到一个非零解向量。习题：求下列矩阵的特征多项式的系数和特征值λj：3-10A=-12-10-13解：在MATLAB中输入命令：A=【3-10；-12-1；0-13】；c=poly(A)roots(c)得到：实验四：Lagrange插值多项式实验目的：理解Lagrange插值多项式的基本概念，熟悉Lagrange插值多项式的公式源代码，并能根据所给条件求出Lagrange插值多项式，理解龙格现象。%功能：对一组数据做Lagrange插值%调用格式：yi=Lagran_(x,y,xi)%x,y：数组形式的数据表%xi：待计算y值的横坐标数组%yi：用Lagrange还擦之算出y值数组functionfi=Lagran_（x,f,xi）fi=zeros(size(xi));np1=length(f);fori=1:np1z=ones(size(xi));forj=i:np1ifi~=j,z=z.*(xi-x(j))/(x(i)-x(j));endendfi=fi+z*f(i);endreturn习题：已知4对数据（1.6，3.3），（2.7，1.22），（3.9，5.61），（5.6，2.94）。写出这四个数据点的Lagrange插值公式，并计算出横坐标xi=【2.101，4.234】时对应的纵坐标。解：4个数据点的Lagrange插值公式为：L3(x)=3.3*(x-2.7)*(x-3.9)*(x-5.6)/(1.6-2.7)*(1.6-3.9)*(1.6-5.6)+4.22*(x-1.6)*(x-3.9)*(x-5.6)/(2.7-1.6)*(2.7-3.9)*(2.7-5.6)+3.9*(x-1.6)*(x-2.7)*(x-5.6)/(3.9-1.6)*(3.9-2.7)*(3.9-5.6)+2.94*(x-1.6)*(x-2.7)*(x-3.9)/(5.6-1.6)*(5.6-2.7)*(5.6-3.9)清单：Clearx=[1.6,2.7,3.9,5.6];y=[3.3,1.22,5.61,2.94];xi=[2.101,4.234];yi=Lagran_(x,y,xi);xx=1.5:0.05:6.5;yy=Lagran_(x,y,xx);plot(xx,yy,x,y,’o’)结果如下：yi=1.05966.6457实验六：牛顿插值多项式实验目的：掌握牛顿插值多项式公式，会用牛顿插值多项式公式，明确牛顿插值多项式与拉格朗日插值公式的区别。定理：已知n+1个节点x0,x1,…,xn,(a≤x0＜x1＜…＜xn≤b)及节点对应的函数值f(x0),f(x1),…,f(xn)。则唯一存在一个n次多项式Nn(x)，具有性质：Nn(xj)=f(xj)=yjj=0,1,2,…,n该多项式形式为：Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+…+f[x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)插值余项R(x)为：R(x)=f(x)-Nn(x)=f[x,x0,x1,x2,…,xn]wn+1(x)。其中，f[x0,x1]=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0),f[x0,x1,x2]=(f[x1,x2]-f[x0,x1])/(x2-x1)…,f[x0,x1,…,xn]=(f[x1,…,xn]-f[x0,x1,…,xn-1])/(xn-xn-1)。牛顿插值多项式公式的优点是具有承袭性，当给出了n+1点坐标，求出Nn(x)表达式后，再给出一个点坐标（xn+2,yn+2）,则有插值公式：Nn+1(x)=Nn(x)+f[x0,x1,…,xn,xn+1](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)(x-xn)。牛顿插值源代码：function[C,D]=newpoly(X,Y)%输入：X为节点的向量；Y为节点对应的函数值向量%输出：C是牛顿插值多项式系数向量；D是计算差商的矩阵N=length(X);%节点的个数D=zeros(n,n)%n×n维零矩阵D(:1)=Y’%D的第一行Y（节点都应的函数值向量）forj=2:nfork=j:nD(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1));%计算商endendC=D(n,n);fork=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k))%计算插值多项式的系数m=length(C);C=C(m)+D(k,k);end习题：将区间【-5，5】等分5份、10份，求函数y=1/(1+x2)的牛顿插值多项式，作出函数y=1/(1+x2)的原图像，观察龙格现象得出什么结果？解：将区间【-5，5】等分成5份，用MATLAB计算。输入clear,clf,holdonX=-5:2:5;Y=1./(1+X.^2);[C,D]=newpoly(X,Y)x=-5,0.01,5;y=polyval(C,x);plot(x,y,X,Y,’.’)gridonxp=-5,:0,05:5;z=1./(1+xp.^2);plot(xp,z,’r’)出现错误如下：此实验无法完成。实验八：最小二乘拟合曲线实验目的：明确曲线拟合的含义，会求数据的曲线拟合。在科学工程试验中，经常需要从试验数据中寻找拟合曲线。曲线拟合是指函数g(x)拟合给定的节点（xi,yj）,i=1,2,…,n,通常所拟合的节点数n必须大于未知数个数k。确定函数g(x)参数，使得拟合函数与节点的偏差最小，这种方法称为最小二乘法。当n=k时，由于拟合曲线通过所用节点，可使问题得到简化。1．数据的线性拟合已知（xi,yj）,i=1,2,…,n,最小二乘法拟合曲线：y=Ax+B的系数是下列线性方程的解，(nkkx12)A+(nkkx1)B=nkkkyx1(nkkx1)A+nB=nkky1习题：给定一组数据点（-1，10），（0，9），（1，7），（2，5），（3，4），（4，3），（5，0），（6，-1），求其最小二乘拟合曲线。解：（1）在MATLAB中作散点图。输入数据点并作图：x=[-10123456];y=[10975430-1];plot(x,y,’.’)得到由上述散点图可知x,y近似成线性关系y=Ax+B，这里的A与B是待定常数。（2）求解方程组：（812kkx）A+（81kkx）B=81kkkyx（81kkx）A+nB=81kky（3）程序：X=[-10123456];Y=[10975430-1];Xmean=mean(X)Ymean=mean(Y)sumx2=(X-xmean)*(X-xmean)’;Sumxy=(Y-ymean)*(X-xmean)’;A=sumxy/sums2B=ymean-A*xmeanx=-1:0.1:7;y=A*x+B;Plot(X,Y,’.’,x,y,’r’)gridon得最小二乘拟合曲线：