1.4：条件概率

1一、条件概率条件概率是概率论中一个重要而实用的概念,它所考虑的是事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.设A、B是某随机试验中的两个事件,且则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的概率为在事件A已发生的条件下事件B发生的条件概率,简称为B在A之下的条件概率,记为§1.4条件概率上页下页返回2例1:盒中有4个外形相同的球,它们的标号分别为1、2、3、4,每次从盒中取出一球,有放回地取两次,则该试验的所有可能的结果为(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)其中(i,j)表示第一次取i号球,第二次取j号球.设A={第一次取出球的标号为2},B={取出的两球标号之和为4},上页下页返回因此事件B的概率为:事件B所含的样本点为(1,3)(2,2)(3,1),3若我们考虑在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,并记此概率为:由于已知事件A已经发生,则该试验的所有可能结果为(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4).这时,事件B是在事件A已经发生的条件下的概率,因此所求的概率为.41ABP由例1可以看出,事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与不附加这个条件的概率是不同的．因此,引入下面的定义注:上页下页返回4,41,163ABPBP1.定义:设A、B是某随机试验中的两个事件,APABPABP则还可求得,161,164ABPAP.APABPABP故有0,PA且在例1中,我们已求得称为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率,简称为B在A之下的条件概率.上页下页返回52.条件概率的性质:1):,0;BPBA非负性对任意事件有2)1;PSA规范性:12113),,,,,;nnnnnBBBPBAPBA可列可加性:如果随机事件两两互不相容则;0)|()4AP);|(1)|()5ABPABP上页下页返回63.条件概率P(B|A)的计算：1)在缩减的样本空间SA中计算;2)在原样本空间S中,用定义计算.).|)(()|()|()|)(()6212121ABBPABPABPABBP)())(()|)((2121APABBPABBP证:).|)(()|()|(2121ABBPABPABP上页下页返回)())(()()(2121APABBPABPABP－＋)()(21APABABP7上页下页返回例2:设在一只盒子中混有新旧两种乒乓球,在新乒乓球中有白球40只,红球30只;旧乒乓球中有白球20只,红球10只,现任取一球发现是新的,问这球是白色的概率是多少?解:设W=“取到白球”,N=“取到新球”,(1)在缩减的样本空间SN中考虑:{1,2,,40,,70},NS.747040）（NWP(2)在S中考虑,用公式求:）（）（）（NPWNPNWP1007010040.7481.概率的乘法公式由条件概率的计算公式APABPABP我们得ABPAPABP这就是两个事件的乘法公式．二、有关条件概率三个定理.BAPBPABP或上页下页返回9上页下页返回例3:设在一只盒子中有10张彩票，其中3张有奖，甲，乙两人先后各从中抽取一张，以A、B分别表示甲、乙中奖事件，求（1）甲中奖的概率；（2）乙中奖的概率；（3）甲中奖的条件下，乙也中奖的概率解:（1）由古典概率可得：（2）由于且所以（3）由条件概率得10上页下页返回例4:设某商店出售盒装的电子元件，每盒装有100只.已知每盒中有4只不合格品，商家采用“坏一赔十”的销售方式，即顾客在购买时，从一盒元件中任取一只检测，若是不合格品，则商家收回不合格品，并立即另给10只合格品.顾客在盒中随机的先后取出3只测试，试求（1）发现一只不合格品的概率；（2）取出的3只都是不合格品的概率.解:设Ai=“在第i次测试时发现是不合格品”B=“发现一只是不合格品”(1)由题意可知：4100964100999695410099980.1163911上页下页返回14()100PA2133(|)9910109PAA31222(|)10810118PAAA123()()PCPAAA（2）设C=“顾客取出的3只都是不合格品“故由题意得4320.00001866100109118121312()(|)(|)PAPAAPAAA12例5:设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.求透镜落下三次而未打破的概率.解:以Ai(i=1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”以B表示事件“透镜落下三次而未打破”,有123()()PBPAAA.2003)1091)(1071)(211(上页下页返回121312()()(|)PAPAAPAAA132.全概率公式;,,2,1,,,=)1(njijiAAji12(2),nAAAS定义:设S为试验E的样本空间,为E的一组事件.若满足12,,nAAA12,,nAAA则称为样本空间S的一个划分.SA1A2An……上页下页返回14设随机事件组定理(全概率公式):则有},,,2,1:{niBi),,,,2,1(0)(niBPi证:{:1,2,,,},iBinS因为为的一个划分两两互不相容；得,,,,21nABABAB.)()|()(1iiiBPBAPAP所以由概率的可列可加性,得B1B2Bn…AB1AB2…ABnS……上页下页返回为S的一个划分,且15()PAPAS.)()|(1iiiBPBAP1)(iiABP)(1iiABP))((1iiBAP证毕.我们把事件A看作某一过程的结果,,,,,21nBBB将看作影响结果的若干原因,根据历史资料,每一原因,已知即iBP,已知即iBAP.AP即求发生的概率已知,而且每一原因对结果的影响程度已知则我们可用全概率公式计算结果发生的概率上页下页返回16例6:一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉,而且每个车间的产量分别占总产量的25%,35%,40%.若每个车间成品中的次品率分别占产量的5%,4%,2%.试问任意从全厂产品中抽出一个螺钉,它恰是次品的概率是多少?解:设A=“抽到次品”,Bi=“螺钉抽自i车间”,i=甲,乙,丙.A=AB1∪AB2∪AB3,由全概率公式,P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)100210040100410035100510025.0345.0上页下页返回17例7:某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率．设该小组在比赛中射中目标A123,4选级射手参加比赛，，iBii41iiiPAPBPAB26930.850.640.450.32202020200.5275解：上页下页返回183.贝叶斯(Bayes)公式则设随机事件组定理:},,,2,1:{niBi),,,,2,1(0)(,0)(niBPAPi如果已知事件A已经发生,求A的发生是由第i个原因Bi引起的概率,则用Bayes公式.上页下页返回为S的一个划分,且19上页下页返回一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉,每个车间的产量分别占总产量的25%,35%,40%.若每个车间成品中的次品率分别占产量的5%,4%,2%.任意从全厂产品中抽出一个螺钉,发现它恰是次品,问是甲车间生产的概率是多少?例8:解:设A=“抽到次品”,Bi=“螺钉抽自i车间”,i=甲,乙,丙.由贝叶斯公式,31111iiiBAPBPBAPBPABP100210040100410035100510025100510025＋＋250.3623.69同理可求得.2280.40669PBA3160.231969PBA20例9:某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。元件制造厂次品率提供晶体管的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。(1)在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次品的概率。(2)在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取到的是次品,试分析此次品出自那家工厂的可能性最大。上页下页返回21解：设A表示“取到的是一只次品”，Bi(i=1,2,3)表示“取到的产品是由第i家工厂提供的”,112233()(|)()(|)()(|)().PAPABPBPABPBPABPB0125.0元件制造厂次品率提供晶体管的份额10.020.1520.010.8030.030.05111(|)()0.020.15(|)0.24()0.0125PABPBPBAPA28(|)64%,12.5PBA31.5(|)12%.12.5PBA05.003.080.001.015.002.0则次品来自第２家工厂可能性大.上页下页返回22)()|()()|()()|()|(BPBAPBPBAPBPBAPABP解:设A为“第一件是合格品”,B为“机器调整良好”.例10:对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,产品的合格率为30%.每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为75%.已知某天早上第一件产品是合格品,试求机器调整得良好的概率是多少?.9.025.03.075.09.075.09.0上页下页返回23课堂练习1．设A,B为两个随机事件,P(A)=P(B)=1,31(),6PAB则()______.PAB2．已知5％的男人和0.25％的女人是色盲.假设男人、女人各占一半,现随机地挑选1人,(1)求此人恰好是色盲患者的概率多大?(2)若随机挑选1人,此人不是色盲患者,问他是男人的概率多大?;127.1；答案:2.(1)0.02625,(2)0.4878.上页下页返回