公因数与公倍数基本概念及应用汇总

公因数与公倍数基本概念及应用汇总1、公因数：几个数共有的因数，叫这几个数的公因数。最大公因数：公因数中最大的一个叫这几个数的最大公因数。2、公倍数：几个数共有的倍数，叫这几个数的公倍数。最小公倍数：公倍数中最小的一个叫这几个数的最小公倍数。3、三种关系的数如何求最小公倍数与最大公因数：①当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍是它们的积；②当两个数是倍数关系时，较小的数是这两个数的最大公因数，较大的数是这两个数的最小公倍数；③当两个数是一般关系时，用短除法求这两个数的最大公因数与最小公倍数。由此可知，最大公因数是公有质因数连乘的积，最小公倍数是公有和独有因数连成的积。可见，最小公倍数是最大公因数的倍数，最大公因数是最小公倍数的因数。掌握这一点是解决此类问题的关键。4、最大公因数与最小公倍数实际应用例题。例1、A=2×3×5×7，则A因数有（）个。分析：一个合数分解质因数后，其因数是一个或几个质因数连成的积。因此，数A的因数为;一个质因数构成的，2、3、5、7；两个质因数构成的6、10、14、15、21、35；三个质因数构成的30、42、105、70；四个质因数构成的210；除此之外还有1.共16个。例2、A=2×2×3B=2×3×5则A、B的最大公因数与最小公倍数分别是（）（）分析：因为“最大公因数是公有质因数连乘的积”，所以A、B的最大公因数为2×3=6；“最小公倍数是公有和独有因数连成的积”A、B的最小公倍数为2×3×2×5=60练习①已知甲、乙两数的最大公因数是6，最小公倍数是36，求甲、乙两数。分析：“最小公倍数是公有和独有因数连成的积，因此最小公倍数是最大公因数的倍数，”解析36÷6=66即为独有因数的积，6=1×6或6=2×3因此甲乙两个数分别为（1×6=66×6=36）或（2×6=123×6=18）②两个数最大公因数是12，最小公倍数是180，且大数不是小数的倍数，求这两个数。解析：180÷12=1515=3×5（3×12=365×12=60）例3、两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且两个数的和是714，这两个数各是多少？解析：2940÷42=70﹙70为独有因数连成的积﹚。“两个数的和是714”，则两数和是最大公因数的倍数，它是最大公因数与独有因数和的积，因此714÷42=17，17是独有因数的和。因此70只能分解成10和7的积，70=7×10（7×42=29410×42=420）练习①已知两个自然数的和为72，它们的最大公因数是12，求这两个数。解析：72÷12=66=1＋5（1×12=125×12=60）例4、把长20厘米，宽42厘米的长方形铁片剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁片，并且没有剩余，至少可剪多少块？分析：因为要剪成“面积相等的正方形铁片，并且没有剩余”，因此，正方的边长既是20的因数，也是42的因数，并且是最大的公因数；42和20的最大公因数是2，故正方形边长为2厘米。剪得块数即为：（20÷2）×（42÷2）=210（块）求54、36、72的最大公因数。练习②把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？提示：求120、18的最大公因数。例5、用长5厘米，宽3厘米的长方形铁片，摆成一个正方形（中间没有空隙），至少要有多少块这种长方形铁片？分析：用这样的长方形摆成正方形，则正方形的边长既是5的倍数，也是3的倍数。因是至少需几块，所以应该是5和3的最小公倍数。5和3的最小公倍数是15。所以需块数为：（15÷5）×（15÷3）=15（块）练习①排练团体操时，要求队伍变成10行、15行、18行、24行时，队形都能成为长方形，最少需要多少人参加团体操的排练？提示：求10，15，18，24的最小公倍数，[10，15，18，24]=3601例6、某幼儿园借阅图书，如借35本，平均分给每个小朋友差1本；如借56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如借69本，平均分给每个小朋友则差3本。这个班的小朋友最多有多少人？分析：小朋友数即为36、54、72的最大公因数。例7现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？分析：班数即为42、112、70的最大公因数。每种水果数除以班数即为分得的水果。练习①有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？例8、练习①、有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？分析:该自然数即为4、5、6的最小公倍数加1.练习①每筐梨，按每份两个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨多4个，则筐里至少有多少个梨？求2、3、5的最小公倍数加1.