结构力学第六章-结构位移计算

机械系董达善教授结构力学第六章结构位移计算机械系董达善教授第六章结构位移计算§6-1.结构位移计算概述§6-2.变形体虚功原理§6-3.单位荷载法§6-4.荷载作用下的位移计算§6-5.图乘法§6-6.温度变化时的位移计算§6-7.支座移动时的位移计算§6-8.互等定理机械系董达善教授第六章结构位移计算§6-1结构位移计算概述一、结构的位移(DisplacementofStructures)线位移，角位移，相对线位移、相对角位移等统称广义位移线位移角位移DC相对线位移CDDCFP相对角位移xyAAFP机械系董达善教授第六章结构位移计算二、计算位移的目的引起结构位移的原因：(1)刚度要求如：荷载、温度改变T、支座移动c、制造误差等在工程上：吊车梁允许的挠度1/600跨度；高层建筑的最大位移1/1000高度。最大层间位移1/800层高。铁路工程技术规范规定:桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度1/700和1/900跨度机械系董达善教授第六章结构位移计算三、本章位移计算的假定(2)超静定、动力和稳定计算(3)施工要求叠加原理适用（principleofsuperposition)(1)线弹性(LinearElastic),(2)小变形(SmallDeformation),(3)理想联结(IdealConstraint)。机械系董达善教授第六章结构位移计算§2变形体虚功原理(PrincipleofVirtualWork)一、功(Work)、实功(RealWork)和虚功(VirtualWork)功：力对物体作用的累计效果的度量功=力×力作用点沿力方向上的位移实功：力在自身所产生的位移上所作的功PPW21虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功tPWPCtt机械系董达善教授第六章结构位移计算§2变形体虚功原理(PrincipleofVirtualWork)一、功(Work)、实功(RealWork)和虚功(VirtualWork)1P11122P21221P2P12力状态位移状态（虚力状态）（虚位移状态）注意：（1）属同一体系；（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件；力状态应满足平衡条件。（3）位移状态与力状态完全无关；机械系董达善教授第六章结构位移计算二、广义力(Generalizedforce)、广义位移(Generalizeddisplacement)一个力系作的总虚功W=P×P---广义力;---广义位移PPW例:1)作虚功的力系为一个集中力2)作虚功的力系为一个集中力偶MWMABMM3)作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶MMMMWBABA)(4)作虚功的力系为两个等值反向的集中力PPABPPPPWBABA)(P1P2机械系董达善教授第六章结构位移计算（1）质点系的虚位移原理具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：1PF2NF1NF2PF1m2m三、变形杆件的虚功原理Σfiδri=0→→.对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即机械系董达善教授第六章结构位移计算（2）刚体系的虚功原理去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。FPAxFBFAyFΔPΔB-FPΔP+FBΔB=0机械系董达善教授第六章结构位移计算原理的表述：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移时所作的总虚功δWe，恒等于变形体所接受的总虚变形功δWv。也即恒有如下虚功方程成立δWe=δWv（3）变形体的虚功原理机械系董达善教授第六章结构位移计算变形体虚功原理的证明:xq1.利用变形连续性条件计算所有微段的外力虚功之和W微段外力分为两部分体系外力相互作用力微段外力功分为两部分体系外力功dWe相互作用力功dWi微段外力功dW=dWe+dWi所有微段的外力功之和:W=∫dWe+∫dWi=∫dWe=δWe2.利用平衡条件条件计算所有微段的外力虚功之和W微段外力功分为两部分在刚体位移上的功dWs在变形位移上的功dWv微段外力功dW=dWs+dWv所有微段的外力功之和:W=∫dWv=δWvabab微段位移分为两部分刚体位移变形位移baabbaba故有δWe=δWv成立。ababb机械系董达善教授第六章结构位移计算变形体虚功原理的证明:xq1.利用变形连续性条件计算所有微段的外力虚功之和W微段外力分为两部分体系外力相互作用力微段外力功分为两部分体系外力功dWe相互作用力功dWi微段外力功dW=dWe+dWi所有微段的外力功之和:W=∫dWe+∫dWi=∫dWe=δWe2.利用平衡条件条件计算所有微段的外力虚功之和W微段外力功分为两部分在刚体位移上的功dWs在变形位移上的功dWv微段外力功dW=dWs+dWv所有微段的外力功之和:W=∫dWv=δWvabab微段位移分为两部分刚体位移变形位移baabbaba故有δWe=δWv成立。ababb几个问题:1.虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。因此原理仅是必要性命题。2.原理的证明表明:原理适用于任何(线性和非线性)的变形体，适用于任何结构。3.原理可有两种应用：实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将平衡问题化为几何问题来求解——虚位移原理。实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将位移分析化为平衡问题来求解——虚力原理。机械系董达善教授第六章结构位移计算δWv=Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds微段外力:微段变形可看成由如下几部分组成:（4）变形体虚功方程的展开式MdMMNdNNQdQQqds微段剪切ds微段拉伸dsds微段弯曲对于直杆体系，有:δW=Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds机械系董达善教授第六章结构位移计算一.单位荷载法kK1P求k点竖向位移.由变形体虚功方程:变形协调的位移状态(P)平衡的力状态(i)δWe=δWvδWe=PΔKδWv=Σ∫[NiδεP+QiδγP+MiδθP]dsΔK=Σ∫[NiδεP+QiδγP+MiδθP]ds适用于各种杆件体系(线性,非线性).§6-3单位荷载法机械系董达善教授第六章结构位移计算----适用于各种杆件体系(线性,非线性).对于由线弹性直杆组成的结构，有：PPPPPPNkQM,,EAGAEIii[]PiPPKPMMNNkQQdsEAGAEI适用于线弹性直杆体系,ΔK=Σ∫[NiδεP+QiδγP+MiδθP]ds§6-4静定结构在荷载作用下的位移计算机械系董达善教授第六章结构位移计算qPQPM1PiQiMxl例1：已知图示粱的E、G,求A点的竖向位移。解：构造虚设单位力状态.1Px0)(,0)(xNxNPi)()(,1)(xlqxQxQPi2/)()(,)(2xlqxMlxxMPilhbqAdsEIMMGAQkQEANNiPPPip][iidxEIxlqGAkxlql]2)()([03)(8242EIqlGAqkl)(5.2/,10/1/,5/6,12/,3钢砼GElhkbhIbhAGAqklEIqlQM2,8:24设24GAlEIkMQ1001MQ对于细长杆,剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计.位移方向是如何确定的?机械系董达善教授第六章结构位移计算ROBAP解：构造虚设的力状态如图示P=1RθPRθPMPNPQdsEIMMGAQkQEANNiPPPip][ii)(4443EIPRGAkPREAPR例2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)sin,sincos,cosPiPiMPRMRQPQsin,sinPiNPNdsRd)(5.2/,10/1/,5/6,12/,3钢砼GERhkbhIbhAEAPRGAkPREIPRNQM4,4,4:3设12001MN4001MQ小曲率杆可利用直杆公式近似计算;轴向变形,剪切变形对位移的影响可略去不计机械系董达善教授第六章结构位移计算1.梁与刚架dsEIMMiPip2.桁架dsEANNiPipEAlNNiP3.组合结构PiPiipMMNNldsEIEA4.拱dsEANNEIMMiPiPip][ii[]PiPPKPMMNNkQQdsEAGAEI在实际计算中，根据结构的具体情况，常常可以只考虑其中的一项（或两项）机械系董达善教授第六章结构位移计算例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.解：Paak100PPP2NP11122NiEAlNNiPkx)()21(2]222)1)(()1)([(1EAPaaPaPaPEA机械系董达善教授第六章结构位移计算已有基础：1.静定结构的内力计算；2.利用位移计算公式求静定结构的位移；3.杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即:GAsFFkEAsFFEIsMMPPdddQQNN§6-5图乘法及其应用(GraphicMultiplicationMethodanditsApplications)机械系董达善教授第六章结构位移计算一、图乘法sEIMMPdsMMEIPd1xMxEIPdtan1xxMEIPdtanccyEIxEI1tan图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。必须注意适用条件机械系董达善教授二次抛物线第六章结构位移计算二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法C2nl2)1(nln1nhlh机械系董达善教授第六章结构位移计算三、注意事项：1.图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，EI为常数；（2）两个M图中应有一个是直线；（3）应取自直线图中。cy2.若与在杆件的同侧，取正值；反之，取负值。cycy3.如图形较复杂，可分解为简单图形.机械系董达善教授第六章结构位移计算四、应用举例2l2l例1.设EI为常数，求和。CyB机械系董达善教授第六章结构位移计算解：作荷载内力图和单位荷载内力图BAq281qlPM图CABFP=1M图4l)(38452)]485()81232[(142EIqllqllEICy机械系董达善教授第六章结构位移计算CABM图121EIqlqllEIB32241]21)8132[(1（）BAq281qlPM图机械系董达善教授第六章结构位移计算例2.已知EI为常数，求刚架C、D两点距离的改变。CD机械系董达善教授第六章结构位移计算解：作荷载内力图和单位荷载内力图)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCDhyc2p106机械系董达善教授例3.已知EI为常数，求刚架A点的竖向位移，并绘出刚架的变形曲线。Ay第六章结构位移计算FP机械系董达善教授第六章结构位移计算解：作荷载内力图和单位荷载内力图在图求面积，在图取竖标，有：MPM3PPP113()2222416cAyyFlFlFlllllEIEIEIEIM图EI2EIPM图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4机械系董达善教授第六章结构位移计算绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：PM图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4FP机械系董达善教授第六章结构位移计算ABCFP2l2laD例4.已知：E、I、A为常数，求。Cy机械系董达善教授第六章结构位移计算解