《分类讨论思想在中学数学中的应用》论文

安阳师范学院本科学生毕业论文分类讨论思想在中学数学中的应用作者***院(系)数学与统计学院专业数学与应用数学年级****级学号指导老师***论文成绩日期****年**月**日学生诚信承诺书本人郑重承诺:所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料．与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．签名:日期:论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即:学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文．签名:导师签名:日期:第1页分类讨论思想在中学数学中的应用牛红姣（安阳师范学院数学与统计学院，河南安阳455002）摘要：在解数学问题时，应用分类讨论思想，通过正确分类，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答．分类讨论的思想在解决某些数学问题时，其解决过程包括多种情形，需要根据所研究的对象存在的差别，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐一地加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，最终使得整个问题在总体上得到解决．关键词：正确分类；应用；分类讨论思想；标准1简述分类讨论思想由于在研究问题过程中出现了不同情况，从而对不同情况进行分类研究的思想，我们称之为分类讨论思想，其实质是一种逻辑划分的思想，是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．分类讨论思想，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略．分类讨论思想具有较高的逻辑性及很强的综合性，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，所以在数学解题中占有重要的位置．2分类讨论的要求、原则及其意义分类讨论的要求：正确应用分类讨论思想，是完整解题的基础．应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学，统一，不重复，不遗漏，在此基础上减少分类，简化分类讨论过程．为了分类的正确性，分类讨论必需遵循一定的原则进行，在中学阶段，我们经常用到的有以下四大原则:⑴同一性原则分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据．可以通过集合的思想来解释，如果把研究对象看作全集I，iA是I的子集并以此分类，且IAAAn21，则称这种分类AnAA,,２１符合同一性原则．⑵互斥性原则分类后的每个子项应当互不相容，即做到各个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个子项，又属于另一个子项．即对于研究对象I，niAi1是I的子集，且作为分类的标准，若jinjiAAji,1,，则称这种分类符合互斥性原则．⑶相称性原则分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等．⑷层次性原则分类有一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后的所有的子项作为母项，再次进行分类，直到满足需要为止．分类讨论的意义：在解决数学问题时，对于因为存在一些不确定因素无法解答或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题按某个标准划分为若干类或若干个局部问题来解决，通过正确的分类，能够克服思维的片面性，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答．3分类讨论思想在中学数学中的应用3.1分类讨论思想在集合中的应用在集合运算中也常常需结合元素与集合，集合与集合之间的关系分类讨论，尤其是对一些第2页含参数的集合问题，常需要进行分类讨论求解．例1设2{|2},{|23,},{|,},AxxaByyxxACzzxxA且BC，求实数a的取值范围．分析当ax2时2zx的范围与实数a取值的正负号，a与2的大小均有关系，因此必须对a分情况讨论，从而得到集合C，再根据BC，求出a的取值范围．解axxA2，AxxyyB,32321ayy．⑴当20a时，2{|4}Czaz，因为CB，所以423a，解得12a，与20a矛盾．⑵当02a时，2{|4}Czaz，因为CB，所以423a，解得12a，故122a．⑶当2a时，2{|0}Czza，因为CB，所以223aa，解得13a，故23a．综上可得132aa．3.2分类讨论思想在函数中的应用3.2.1分段函数中的分类讨论例2已知函数()31fxxx，作函数()fx的图像．分析()fx是分段函数，没有统一的表达式，所以按其零点分区间讨论．解⑴当1x时，()3122fxxxx；⑵当13x时，()314fxxx；⑶当3x时，()3122fxxxx；即第3页22,1()4,1322,3xxfxxxx．故()fx的函数图像为如图（1）所示:图（1）3.2.2函数中含参数的分类讨论例3已知函数3222axxxf在区间1,1上有最小值，记作g(a)，求g(a)的函数表达式．解原式配方得222()322aayx，其对称轴方程为2ax，⑴当12a时，即2a时，y在1,1上递增，在1x时，()25gaa；⑵当112a时，即22a时，在2ax处有最小值，2()32aga；⑶当12a即2a时，y在1,1上单调递减，在1x时，()52gaa；综上所述可得225,(2)()3,(22)252,(2)aaagaaaa．第4页3.3分类讨论思想在不等式中的应用3.3.1涉及运算要求的分类讨论我们在解题过程中，往往将式子变形或转化为另外一个式子来进行解题和运算，很多变形和运算是受条件限制的，如解不等式当两边同时乘（除）以一个代数式时，要考虑代数式的值是否为负；解无理不等式时，去掉根号要考虑两边是否都大于0等等．例4解不等式31xx．分析解此不等式需要去掉根号，而去掉根号时，需要考虑两边是否同为正，才能同时平方而不改变不等号方向，因此根据运算要求进行分类讨论．解原不等式等价于1030xx，或2103013xxxx；解得31x，或53x．原不等式解集为51xx．3.3.2含参数不等式的分类讨论例5解关于x的不等式223()0xaaxa．分析原不等式是关于x的一元二次不等式，可化为2()()0xaxa．由于a与2a无法确定，此不等式无法解下去，因此对a进行讨论，讨论的着眼点应该在a与2a的大小上．解⑴当10a时，2aa，不等式的解集为axaxx或2；⑵当0a时，2aa，不等式解集为0xRxx且；⑶当1a时，2aa，不等式解集为1xRxx且；⑷当1a或0a时，2aa，不等式解集为20axaxx且．3.4分类讨论思想在排列组合中的应用分类讨论思想在排列组合中也常见，尤其是解含有约束条件的排列组合问题时，运用分类讨论的方法可以把复杂的问题化为简单的问题．例6在正方体的8个顶点中，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少？第5页解依题意，共线的三点组可以分为三类:⑴两端点皆为顶点的共线三点组，共有28278（个）；⑵两端点皆为面的中心的共线三点组，共有3216（个）；⑶两端点皆为各棱中点的共线三点组，共有182312（个）；所以总共有4918328（个）．例7甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一个人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排共有多少方法？解本题考查排列组合，按甲参加的日期分类:⑴甲周一参加，乙和丙在剩下的4天中选两天参加，共有24A种；⑵甲周二参加，同理可知有23A种；⑶甲周三参加，有22A种；根据加法原理可知，总共有20222324AAA种．3.5分类讨论思想在数列中的应用在有些数列问题中存在不确定的因素，如等比数列的公比q是否为1；数列的项的个数为偶数还是奇数等等，就那样的数列问题，我们要进行分类讨论．例8已知数列，，，，，324321xxx求它的前n项和．分析本题未指明数列为等比数列，所以分类讨论时还要考虑0x这一情况．解设12321nnnxxxS，⑴当0x时，1nS；⑵当1x时，21321nnnSn；⑶当0x且1x时，由12321nnnxxxS，得nnnnxxnxxxxS132132，两式相减:nnnnnnxxxnxxxxSx111112，2111xxnxxSnnn．综上所述第6页21,0(1),(1)21(1),(0,1)(1)nnnxnnSxxnxxxxx．例9已知数列na的前n和为nS，满足关系式221nnaS，且0na，若nnnSb1，求数列nb的前n项的和nT．解⑴Ⅰ当1n时，由211121aSa，得11a；Ⅱ当2n时，由21212121nnnnnaaSSa，得0211nnnnaaaa．0na，21nnaa，即na是首项为1，公差为2的等差数列，从而2nSn，211nSbnnnn．⑵Ⅰ当Nmmn2，即偶数时，mnTT22222222124321mm2222221223412mm2122mm21nn；Ⅱ当Nmmn12，即奇数时，212122212nnnnnbTTTmmmn．综上所述NnnnTnn,211．3.6分类讨论思想在圆锥曲线中的应用例10如图（2）所示，给定点00aaA，和直线l上的动点AB，BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并说什么曲线．第7页（图2）分析由于动点因点在直线l上的位置的变动而变化，故设出点的坐标为参数，bb,1，由题意知C点应为b的表达式，消去参数，即得C点的轨迹方程．本体的关键是如何求C点的坐标，方法有多种，如利用角平分线的定义，性质可得．解依题意，记)(),,1(RbbB，则直线OA和OB的方程分别为0y和bxy．设点yxC,，则有ax0，由点到直线的距离公式得21bbxyy①点C在直线AB上，故axaby1，由0ax得axyab1②将②代入①得2221210yaxaxay．⑴若0y，则axyaaxxa0012122；⑵若0y，则0b，AOB，点C的坐标为0,0，满足上式．综上得点C的轨迹方程为axyaaxxa0012122此轨迹方程里含有参数a，因参数a的值的不同而导致曲线的形状不同，从而需要对参数a分情况讨论．⑴当1a时，方程化为axxy02③此时，方程③表示为抛物线弧段；⑵当1a时，轨迹方程为第8页axaayaaaax01111222222④所以，当10a时，方程④表示椭圆弧段，当1a时，方程④表示双曲线支的弧段．3.7分类讨论思想在立体几何中的应用点，线，面是组成几何图形的三个要素，有些立体几何题中，这三者的位置关系是不确定的，因此要对每种情况进行分类讨论求解，这样防止漏解．下面一题是涉及