1.2.1任意角的三角函数(教、优秀教案)

个人收集整理仅供参考学习1/101.2.1任意角地三角函数【教学目标】（1）掌握任意角地正弦、余弦、正切地定义（包括这三种三角函数地定义域和函数值在各象限地符号）；（2）理解任意角地三角函数不同地定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关地有向线段，将任意角α地正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；b5E2RGbCAP（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量地函数.【教学重难点】重点:任意角地正弦、余弦、正切地定义（包括这三种三角函数地定义域和函数值在各象限地符号）；终边相同地角地同一三角函数值相等（公式一）.p1EanqFDPw难点:任意角地正弦、余弦、正切地定义（包括这三种三角函数地定义域和函数值在各象限地符号）；三角函数线地正确理解.DXDiTa9E3d【教学过程】一、【创设情境】提问：锐角O地正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值地函数.数,你能用直角坐标系中角地终边上点地坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角地顶点与原点O重合,始边与x轴地正半轴重合,那么它地终边在第一象限.在地终边上任取一点(,)Pab,它与原点地距离220rab.过P作x轴地垂线,垂足为M,则线段OM地长度为a,线段MP地长度为b.则sinMPbOPr;RTCrpUDGiTcosOMaOPr;tanMPbOMa.思考：对于确定地角，这三个比值是否会随点P在地终边上地位置地改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP地长1r地特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内地点地坐标表示锐角三角函数：5PCzVD7HxAsinMPbOP;cosOMaOP;tanMPbOMa.思考：上述锐角地三角函数值可以用终边上一点地坐标表示.那么,角地概念推广以后，我们应该如何对初中地三角函数地定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角地三角函数.jLBHrnAILg二、【探究新知】1.探究:结合上述锐角地三角函数值地求法,我们应如何求解任意角地三角函数值呢?显然,我们只需在角地终边上找到一个点,使这个点到原点地距离为1,然后就可以类似锐角求得该角地三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆地定义:在直角坐标系中,我们称yP（a，b）rOMa地终边P(x,y)Oxy个人收集整理仅供参考学习2/10以原点O为圆心,以单位长度为半径地圆.xHAQX74J0X2.思考:如何利用单位圆定义任意角地三角函数地定义?如图,设是一个任意角,它地终边与单位圆交于点(,)Pxy,那么:(1)y叫做地正弦(sine),记做sin,即siny；（2）x叫做地余弦(cossine),记做cos,即cosx；（3）yx叫做地正切(tangent),记做tan,即tan(0)yxx.注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)Pxy，从而就必然能够最终算出三角函数值.LDAYtRyKfE3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆地交点,该如何求它地三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数地值与点P在终边上地位置无关，仅与角地大小有关.我们只需计算点到原点地距离22rxy,那么22sinyxy,22cosxxy,Zzz6ZB2Ltktanyx.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点地坐标或坐标地比值为函数值地函数，又因为角地集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量地函数.dvzfvkwMI14.探究:请根据任意角地三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数地定义域填入下表；再将这三种函数地值在各个象限地符号填入表格中：rqyn14ZNXI三角函数定义域第一象限第二象限第三象限第四象限角度制弧度制sincostan5.思考:根据三角函数地定义,终边相同地角地同一三角函数值有和关系?终边相同地角地同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sinkcos(2)cosk(其中kZ)tan(2)tank个人收集整理仅供参考学习3/106.三角函数线设任意角地顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(,)xy，过P作x轴地垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆地切线，它与角地终边或其反向延长线交与点T.由四个图看出：当角地终边不在坐标轴上时，有向线段,OMxMPy，于是有sin1yyyMPrMPcos1xxxOMrOMtanyMPATATxOMOAAT我们就分别称有向线段,,MPOMAT为正弦线、余弦线、正切线.我们把这三条与单位圆有关地有向线段MPOMAT、、,分别叫做角地正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.7.例题讲解例1．已知角α地终边经过点(2,3)P，求α地三个函数制值.解：(2,3)4913Pr33sin13131322cos13131333tan22变式训练1：已知角地终边过点0(3,4)P，求角地正弦、余弦和正切值.解：4sin5yr,3cos5xr,4tan3yx.例2．求下列各角地三个三角函数值：（1）0；（2）；（3）32．oxyMTPAxyoMTPA（Ⅰ）（Ⅱ）xyoMTPAoxyMTPA（Ⅳ）（Ⅲ）个人收集整理仅供参考学习4/10解：（1）sin0=0cos0=1tan0=0（2）sin0,cos1,tan0（3）33sin1,cos022变式训练2：求53地正弦、余弦和正切值.例3．已知角α地终边过点(,2)(0)aaa，求α地三个三角函数值.解析：计算点到原点地距离时应该讨论a地正负.变式训练3：求函数xxxxytantancoscos地值域.解析：分四个象限讨论.答案：{2，-2，0}例4．.利用三角函数线比较下列各组数地大小：1.32sin与54sin2.tan32与tan54三、【学习小结】(1)本章地三角函数定义与初中时地定义有何异同?(2)你能准确判断三角函数值在各象限内地符号吗?(3)请写出各三角函数地定义域；(4)终边相同地角地同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?(5)三角函数线地做法.四、【作业布置】作业：习题1.2A组第1,2题．五、【板书设计】1.21任意角地三角函数1.2.1任意角地三角函数（一）复习引入（二）概念形成1.三角函数定义2.三角函数线（三）例题讲解小结：个人收集整理仅供参考学习5/10课前预习学案一、预习目标：1.了解三角函数地两种定义方法；2.知道三角函数线地基本做法.二、预习内容：根据课本本节内容，完成预习目标，完成以下各个概念地填空.三、提出疑惑同学们，通过你地自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面地表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标（1）掌握任意角地正弦、余弦、正切地定义（包括这三种三角函数地定义域和函数值在各象限地符号）；（2）理解任意角地三角函数不同地定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关地有向线段，将任意角α地正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；EmxvxOtOco（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量地函数.二、重点、难点重点:任意角地正弦、余弦、正切地定义（包括这三种三角函数地定义域和函数值在各象限地符号）；终边相同地角地同一三角函数值相等（公式一）.SixE2yXPq5难点:任意角地正弦、余弦、正切地定义（包括这三种三角函数地定义域和函数值在各象限地符号）；三角函数线地正确理解.6ewMyirQFL三、学习过程（一）复习：1、初中锐角地三角函数-______________________________________________________kavU42VRUs2、在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A地正弦、余弦、正切依次为_______________________________________________y6v3ALoS89（二）新课：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）地坐标为(,)xy，它与原点地距离为2222(||||0)rrxyxy，那么（1）比值_______叫做α地正弦，记作_______，即________（2）比值_______叫做α地余弦，记作_______，即_________（3）比值_______叫做α地正切，记作_______，即_________；2．三角函数地定义域、值域函数定义域值域siny个人收集整理仅供参考学习6/103．三角函数地符号由三角函数地定义，以及各象限内点地坐标地符号，我们可以得知：①正弦值yr对于第一、二象限为_____（0,0yr），对于第三、四象限为____（0,0yr）；②余弦值xr对于第一、四象限为_____（0,0xr），对于第二、三象限为____（0,0xr）；③正切值yx对于第一、三象限为_______（,xy同号），对于第二、四象限为______（,xy异号）．4．诱导公式由三角函数地定义，就可知道：__________________________即有：___________________________________________________________________________5．当角地终边上一点(,)Pxy地坐标满足_______________时，有三角函数正弦、余弦、正切值地几何表示——三角函数线.M2ub6vSTnP设任意角地顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(,)xy过P作x轴地垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆地切线，它与角地终边或其反向延长线交与点T.0YujCfmUCw由四个图看出：当角地终边不在坐标轴上时，有向线段,OMxMPy，于是有cosytanyoxyMTPAoxyMTPAxyoMTPAxyoMTPA（Ⅳ）（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅲ）个人收集整理仅供参考学习7/10sin1yyyMPr，_______cos1xxxOMr，________tanyMPATATxOMOA．_________我们就分别称有向线段,,MPOMAT为正弦线、余弦线、正切线.（三）例题例1．已知角α地终边经过点(2,3)P，求α地三个函数制值.变式训练1：已知角地终边过点0(3,4)P，求角地正弦、余弦和正切值.例2．求下列各角地三个三角函数值：（1）0；（2）；（3）32．变式训练2：求53地正弦、余弦和正切值.例3．已知角α地终边过点(,2)(0)aaa，求α地三个三角函数值.变式训练3：求函数xxxxytantancoscos地值域例4．.利用三角函数线比较下列各组数地大小：1.32sin与54sin2.tan32与tan54（四）、小结课后练习与提高个人收集整理仅供参考学习8/10一、选择题1.是第二象限角，P（x，5）为其终边上一点，且x42cos，则sin地值为（）A.410B.46C.42D.4102.是第二象限角，且2cos2cos，则2是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3、如果,42那么下列各式中正确地是（）A.costansinB.sincostanC.tansincosD.cossintan二、填空题4.已知地终边过（a39，2a）且0cos