第三章 一元函数积分学

2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学129第三章一元函数积分学2008考试内容(本大纲为数学1，数学2-4需要根据大纲作部分增删)原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿－莱布尼茨（Newton–Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用2008考试要求1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分与分部积分法。3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式。5.了解反常积分的概念，会计算反常积分。掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。第一节一元函数积分学之一（原函数）一、原函数的概念及其等价描述1．概念：设有函数fx和可导函数Fx，如果对区间,ab上的任何一点x，都有Fxfx，则称Fx为fx在区间,ab上的一个原函数。Fxc构成fx的全体原函数，叫做fx的不定积分，记为：fxdxFxc或xafxdxfxdxc。2．原函数的性质：●0limxFxxFxFxfxx存在，且原函数Fx一定是连续函数；●验证Fx是否为fx的原函数，分两步第一步：Fx在区间上是否连续；第二步：验证Fxfx是否成立。●当fx连续时，则fx一定有原函数，且0xftdtfx，因为2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学1300000001limlim11lim=limxxxxxxxxxxFxxfxFxftdtftdtxxftdtfxfxxx积分中值定理。●当fx连续时，则fx一定有原函数，且可以写成xaFxftdt；当fx不连续时，xaFxftdt却不一定是fx的原函数，但xaFxftdt在区间内必连续。●连续奇函数的原函数为偶函数；连续偶函数的原函数为奇函数与常数之和。●当fx存在第一类间断点时，则fx一定没有原函数，0xftdtfx，证明如下：设0x是fx的第一类间断点，且fx在0Ux上有原函数Fx，则0FxfxxUx由于第一类间断点单侧极限存在，则推出00000000000limlimlimlimxxxxxxxxfxFxFxFxfxfxxfxFxFxFxfx在连续，矛盾。所以，当fx存在第一类间断点时，则fx一定没有原函数。●当fx存在第二类间断点时，则fx可能有也可能没有原函数。参见本章相关例题。二、原函数的应用■题型1与原函数相关的题法【例1】设lnxx为fx的原函数，求2eeIxfxdx。解：22222222ln11ln10,ln11|1|1eeeeeeeexfxxxxfefeexIxfxdxxfxfxdxxee【例2】下列命题不正确的是2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学131,,,,,AfxabfxabBfxabfxCfxabfxabDFxfxFx若在区间的某个原函数是常数，则在区间恒为零若在区间的某个原函数为零，则所有原函数是常数若在区间不是连续函数，则在区间必无原函数若是的任意一个原函数，则必定为连续函数解：选C。A0FxkFxfx，正确；B0FxFxCC，正确；C112sincos,00,0xxfxxxx在1,1内不连续，但它存在原函数21sin,00,0xxfxxx；D根据原函数的定义有：Fxfx。显然正确。【例3】设Fx是fx在区间I上的原函数，则AFxBFxCFxIDFxI必为初等函数且有界必为初等函数但未必有界在上必连续且有界在上必连续但未必有界解：由于Fxfx，故FxI在上必连续，但未必有界，例如：1x在0,1上的原函数是lnx，而lnx在0,1上就无界。故选D【例4】设0a,fx在区间,aa连续，则在,aa上2cosAfxBxfxfxCfxDxfxfx的全体原函数为奇函数的全体原函数为偶函数有唯一原函数为奇函数的任意原函数既不是奇函数也不是偶函数解：只有奇函数的原函数才一定是偶函数，偶函数的原函数可能是奇函数，也可能不是，显然cosfx和xfxfx都是偶函数，故,,ABD不正确，而2fx的一个原函数为20=xFxftdt，而2200=xxutFxftdtfuduFx故Fx为奇函数，所以C正确。2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学132【例5】设Fx是fx在区间,ab的一个原函数，则Fxfx在在,ab上ABCD可导连续存在原函数是初等函数解：Fxfx，故Fx必连续，Fx必存在原函数，故C正确。【例6】1,0sin,02xxxxfxeex，则fx的原函数是：22211,0,02222cos,0cos,02211,0222cos,2xxxxxxxxxAFxBFxexexxxxCFxe211,022210cos,022xxxxDFxxex解：,CD中Fx在0x点不连续，故都不是fx的原函数，A不满足Fxfx，故也不是fx的原函数，因此B正确。【例7】211,0,cos,04xxxfxFxftdtxx，则：-+-+-+AFxfxBFxfxCFxDFxfx为的一个原函数在，上可微，但不是的原函数在，上不连续在，上连续，但不是的原函数解：选D。A+00lim1,lim1,04xxfxfxxA为第一类间断点，故不正确。B不正确，理由在C的分析中。C000,,,fxxabaxxb当有第一类间断点，但在和内必连续，可以证明：,,,xaFxftdtxabab为上的连续函数。对本题我们有：2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学1332310210141,03341cossin,0443xxxdxxxxFxxdxxdxxxx显然，Fx是连续的。但是：30414sin4333limxxxxxFxFxfxx不存在，即不可导故B不正确。D正确。【例8】222212112cossin,0cos,0,0,00,0xxxxfxFxxxxxxx。则在,内下列正确的是：AfxFxfxBfxFxfxCfxFxFxfxDfxFxfx不连续且不可微，可微，且为的原函数不连续，不存在原函数，因而不是的原函数和均为可微函数，且为的一个原函数连续，且解：可以验证0x为fx的第二类间断点，因为：20021lim0limsinxxfxxx，故0x为fx的第二类振荡间断点，可能存在原函数。又：220221cos00lim0,01212cossin,00,0xxxFFxxxxFxfxxxxxFxA故可微。即：而连续，故正确。2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学134第二节一元函数积分学之二（不定积分与变限积分）一、三基及其拓展1．基本定义与概念1）不定积分定义：对任一xI区间，可导函数Fx的导函数为fx，即Fxfx；那么Fx称为fx的原函数。全体原函数的集合Fxc称为I上的不定积分，记为：fxdxFxc。连续函数一定存在原函数和具有有限个第二类间断点的非连续函数可能存在原函数，具有第一类间断点的非连续函数不可能存在原函数。2）变限积分定义：在原函数存在的条件下，由不定积分定义衍生而来。fxdxFxcfxdxFxcFxfx由于Fx是某一个具体函数，由莱布尼茨公式得：xaxxaaxxaafxdxFxFaFxfxdxFafxdxcfxdxFafxfxdxfxftdt可见：变限积分可以视为不定积分的某一个原函数。●变限积分的求导方法：221112221)))gxagxgxgxaaagxagxgxgxagxgxaaaftdtfgxgxbxftdtxftdtxfgxgxftdtcftdtftdtftdtftdtftdtfgxgxfgx121111))bbxbxbxxtuaaxaxaxgxdfxtdtfudufudubfbxafaxfuduxxxxe一般复杂情况下使用下列雅可比公式求变限积分的导数较为方便,,,,xxxxfxydfxydydyfxxxfxxxdxx2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学1353）重要结论：●离散点不构成区间，但可以构成函数的定义域；如1sin122kxxk定义域，它的定义域就是离散点，没有定义区间，故没有原函数（注意：对于一范围,ab，如果是区间，则ab成立，ab不成立；如果是定义域，则abab或都成立。一切初等函数在它的定义区间必连续，故必有原函数；但在其定义域内就不一定，因为定义域不一定包含区间）。●143333221110433xxxxxx是的原函数；而不是的原函数，因为无定义,属于反常积分范畴，一般不定积