数字信号处理讲义--第7章 滤波器的设计方法

第７章滤波器的设计方法教学目的1．掌握由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2．了解常用的窗函数，掌握低通IIR滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR滤波器的方法；3．掌握FIR滤波器的逼近原理与设计方法。教学重点与难点重点：本章是本课程的重中之重，滤波器的设计是核心内容之一。1．连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2．常用的窗函数，掌握低通IIR滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR滤波器的方法；3．掌握FIR滤波器的逼近原理与设计方法。难点：1.冲激响应不变法，双线性变换法2.用窗函数法设计FIR滤波器FIR滤波器的逼近原理与设计方法7.0基本概念7.0.1选频滤波器的分类数字滤波器是数字信号处理的重要基础。在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中,数字滤波器是使用最广泛的线性系统。数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。因此，数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。我们已经知道，一个输入序列x(n)，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变系统后，其输出响应y(n)为将上式两边经过傅里叶变换，可得式中，Y(ejω)、X(ejω)分别为输出序列和输入序列的频谱函数，H(ejω)是系统的频率响应函数。可以看出，输入序列的频谱X(ejω)经过滤波后，变为X(ejω)H(ejω)。如果|H(ejω)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和nmnxmhnhnxny)()()()()()()()(jjjeHeXeY处理信号的目的，适当选择H(ejω)，使得滤波后的X(ejω)H(ejω)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。它们的理想模式如图7-1所示。（系统的频率响应H(ejω)是以2π为周期的。)可以看出，输入序列的频谱X(ejω)经过滤波后，变为X(ejω)H(ejω)。如果|H(ejω)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H(ejω)，使得滤波后的X(ejω)H(ejω)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。它们的理想模式如图7-1所示。（系统的频率响应H(ejω)是以2π为周期的。)图7-1数字滤波器的理想幅频特性满足奈奎斯特采样定理时，信号的频率特性只能限带于|ω|π的范围。由图7-1可知，理想低通滤波器选择出输入信号中的低频分量，而把输入信号频率在ωcω≤π范围内所有分量全部滤掉。相反地，理想高通滤波器使输入信号中频率在ωc≤ω≤π范围内的所有分量不失真地通过，而滤掉低于ωc于低频和高频之间的频率分量。7.0.2滤波器的技术指标理想滤波器(如理想低通滤波器)是非因果的，其单位脉冲响应从-∞延伸到+∞，因此，无论用递归还是非递归方法，理想滤波器是不能实现的，但在概念上极为重要。一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的)(ejHo－2－2)(ejHo－2－2)(ejHo－2－2)(ejHo－2－2(a)(b)(c)(d)低通高通带通带阻允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图7-2（称容限图）所示，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围（而不是理想的陡截止的通带、阻带两个范围）。图中δ1为通带的容限，δ2为阻带的容限。图7-2低通滤波器频率响应幅度特性的容限图在通带内，幅度响应以最大误差±δ1逼近于1，即|ω|≤ωp在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即ωs≤|ω|≤π式中，ωp,ωs分别为通带截止频率和阻带截止频率，它们都是数字域频率。幅度响应在过渡带（ωs-ωp）中从通带平滑地下降到阻带，过渡带的频率响应不作规定。虽然给出了通带的容限δ1及阻带的容限δ2，但是，在具体技术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹）Ap和阻带应达到的最小衰减As描述，Ap及As的定义分别为：（7-1a）（7-1b）式中，假定|H(ej0)|=1(已被归一化)。例如|H(ejω)|在ωp处满足|H(ejωp)|=0.707，则Ap=3dB；在ωs处满足|H(ejωs)|=0.001，则As=60dB（参考图7-2）。(注：lg是log10的规范符号表示。)7.0.3FIR型滤波器和IIR型滤波器数字滤波器按单位脉冲响应h(n)的时域特性可分为无限长脉冲响应IIR（InfiniteImpulseResponse）滤波器和有限长脉冲响应1＋11－1)(ejH通带过渡带阻带2o1111|)(|1jeH2|)(|jeH2010lg20|)(|lg20|)(||)(|lg20)1lg(20|)(|lg20|)(||)(|lg20ssppjjjpjjjpeHeHeHAeHeHeHAFIR（FiniteImpulseResponse）滤波器。IIR滤波器一般采用递归型的实现结构。其N阶递归型数字滤波器的差分方程为（7-2）式（7-2）中的系数ak至少有一项不为零。ak≠0说明必须将延时的输出序列反馈回来，也即递归系统必须有反馈环路。相应的IIR滤波器的系统函数为（7-3）IIR滤波器的系统函数H(z)在Z平面上不仅有零点，而且有极点。FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)是有限长的，即0≤n≤N-1，该系统一般采用非递归型的实现结构，但如果系统函数中出现零、极点相消时,也可以有递归型的结构(如频率采样结构)。FIR滤波器的系统函数为（7-4）由式（7-4）可知，H(z)的极点只能在Z平面的原点。7.0.4滤波器的设计步骤①按照实际任务要求，确定滤波器的性能指标。②用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能要求。根据不同要求可以用IIR系统函数，也可以用FIR系统函数去逼近。③利用有限精度算法来实现这个系统函数。这里包括选择运算结构（如第4章中的各种基本结构），选择合适的字长（包括系数量化及输入变量、中间变量和输出变量的量化）以及有效数字的处理方法（舍入、截尾）等。7.1由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器7.1.1滤波器设计的冲激响应不换法（1）基本原理利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模MkNkkkknyaknxbny01)()()(NkkkMkkkzazbzH101)(10)()(NnnznhzH仿模拟滤波器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)，即将ha(t)进行等间隔采样，使h(n)正好等于ha(t)的采样值，满足h(n)=ha(nT)（7-5）式中,T是采样周期。如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯变换，H(z)为h(n)的Z变换，利用采样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得(7-6)则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的S平面变换成数字滤波器的Z平面，这个从s到z的变换z=esT是从S平面变换到Z平面的标准变换关系式。图7-3脉冲响应不变法的映射关系（2）混叠失真由式（7-6）知，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为(7-7)这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即(7-8)才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即kTjsXTjksXTzXkaskaezsT21)(1)(j3/T/T－3/T－/Too－11jIm[z]Re[z]Z平面S平面TkjHTeHkaj21)(2||sT0)(jHaTjHTeHaj1)(|ω|π(7-9)但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图7-4所示。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。图7-4脉冲响应不变法中的频响混叠现象对某一模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)进行采样，采样频率为fs，若使fs增加，即令采样时间间隔（T=1/fs）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。（3）模拟滤波器的数字化方法由于脉冲响应不变法要由模拟系统函数Ha(s)求拉普拉斯反变换得到模拟的冲激响应ha(t)，然后采样后得到h(n)=ha(nT)，再取Z变换得H(z)，过程较复杂。下面我们讨论如何由脉冲响应不变法的变换原理将Ha(s)直接转换为数字滤波器H(z)。设模拟滤波器的系统函数Ha(s)只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次（一般都满足这一要求，因为只有这样才相当于一个因果稳定的模拟系统），因此可将(7-9)其相应的冲激响应ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反变换，即式中,u(t)是单位阶跃函数。在脉冲响应不变法中，要求数字滤波器的单位脉冲响应等于对ha(t)的采样，即－3－2……)j(aΩHoo－23＝T)(ejHTπ2TπTπTπ2－NkkkassAsH1)(NktskaatueAsHFthk11)()]([)((7-10)对h(n)求Z变换，即得数字滤波器的系统函数将式（7-9）的Ha(s)和式（7-11）的H(z)加以比较，可以看出：（1）S平面的每一个单极点s=sk变换到Z平面上z=eskT处的单极点。（2）Ha(s)与H(z)的部分分式的系数是相同的，都是Ak。（3）如果模拟滤波器是因果稳定的，则所有极点sk位于S平面的左半平面，即Re［sk］0，则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内，即|eskT|=eRe［sk］T1，因此数字滤波器也是因果稳定的。（4）虽然脉冲响应不变法能保证S平面极点与Z平面极点有这种代数对应关系，但是并不等于整个S平面与Z平面有这种代数对应关系，特别是数字滤波器的零点位置就与模拟滤波器零点位置没有这种代数对应关系，而是随Ha(s)的极点sk以及系数Ak两者而变化。从式（7-8）看出，数字滤波器频率响应幅度还与采样间隔T成反比：|ω|π如果采样频率很高，即T很小，数字滤波器可能具有太高的增益，这是不希望的。为了使数字滤波器增益不随采样频率而变化，可以作以下简单的修正，令h(n)=Tha(nT)(7-12)则有:(7-14)例7-1设模拟滤波器的系统函数为NknTskNknTskanueAnueAnThnhkk11)()()()()(NkTskNknTsnkNknTsknnnzeAzeAzeAznhzhkkk111101101)()()()(TjHTeHaj1)(NkTskzeTAzHk111)(TjHkTjTjHeHakaj2)(3111342)(2sssssHa试利用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成IIR数字滤波器的系统函数H(z)。解直接利用式（7-14）可得到数字滤波器的系统函数为设T=1，则有模拟滤波