圆锥曲线_椭圆_双曲线_抛物线_知识点总结_例题习题精讲_详细答案

-1-【椭圆】一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常数)2(2121FFaPFPF，这个动点P的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意：若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹为线段21FF；若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹无图形。二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a、b，焦点为c）（1）当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：12222byax)0(ba，其中222bac；（2）当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：12222bxay)0(ba，其中222bac；2、两种标准方程可用一般形式表示：221xymn或者mx2+ny2=1三、椭圆的性质（以12222byax)0(ba为例）1、对称性：对于椭圆标准方程12222byax)0(ba：是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。2、范围：椭圆上所有的点都位于直线ax和by所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足ax，by。-2-3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆12222byax)0(ba与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1aA，)0,(2aA，),0(1bB，),0(2bB。③线段21AA，21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，aAA221，bBB221。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4、离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作acace22。②因为)0(ca，所以e的取值范围是)10(e。e越接近1，则c就越接近a，从而22cab越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当ba时，0c，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为ayx22。③离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。注意：椭圆12222byax的图像中线段的几何特征（如下图）：ePMPFPMPF2211)2(21aPFPF)2(221caPMPM5、椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆（edPF||）。即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有ePMPFPMPF2211。①焦点在x轴上：12222byax（a＞b＞0）准线方程：cax2-3-②焦点在y轴上：12222bxay（a＞b＞0）准线方程：cay26、椭圆的内外部（1）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab（2）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab四、椭圆的两个标准方程的区别和联系标准方程12222byax)0(ba12222bxay)0(ba图形性质焦点)0,(1cF，)0,(2cF),0(1cF，),0(2cF焦距cFF221cFF221范围ax，bybx，ay对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点)0,(a，),0(b),0(a，)0,(b轴长长轴长=a2，短轴长=b2离心率)10(eace准线方程cax2cay2焦半径01exaPF，02exaPF01eyaPF，02eyaPF-4-五、其他结论1、若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab2、若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab3、椭圆22221xyab(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点12FPF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb4、椭圆22221xyab（a＞b＞0）的焦半径公式：10||MFaex,20||MFaex(1(,0)Fc,2(,0)Fc00(,)Mxy)5、设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF。6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF。7、AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。8、若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab9、若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab-5-【双曲线】一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（21212FFaPFPF（a为常数））。这两个定点叫双曲线的焦点。要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a＜|F1F2|。当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在。2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程（222acb，其中|1F2F|=2c）需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线2、直线与双曲线四、双曲线与渐近线的关系五、双曲线与切线方程-6-六、双曲线的性质七、弦长公式1、若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,xx分别为A、B的横坐标，则221212()()ABxxyy，22221212121141||ABkxxkxxxxka，若12,yy分别为A、B的纵坐标，则21212122211114AByyyyyykk。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长abAB22||。3、若弦AB所在直线方程设为xkyb，则AB＝2121kyy。4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解八、焦半径公式九、等轴双曲线十、共轭双曲线【抛物线】一、抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。二、抛物线的性质三、相关定义1、通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H1H2称为通径；通径：|H1H2|=2P2、弦长公式：2121221||1||1||ABkxxyyk3、焦点弦：过抛物线22ypx(0)p焦点F的弦AB，若1122(,),(,)AxyBxy，则(1)||AFx0+2p，(2)12xx42p，12yy－p2(3)弦长)(21xxpAB,pxxxx21212，即当x1=x2时,通径最短为2p(4)若AB的倾斜角为θ，则AB=2sin2p-7-（5）AF1+BF1=P2四、点、直线与抛物线的位置关系需要详细的抛物线的资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”【圆锥曲线与方程】一、圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。特别注意：当0e时，轨迹为圆（ace，当bac,0时）。二、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质三、曲线与方程四、坐标变换1、坐标变换：2、坐标轴的平移：3、中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程-8-【例】以抛物线xy382的焦点F为右焦点,且两条渐近线是03yx的双曲线方程为___________________.解：抛物线xy382的焦点F为)0,32(，设双曲线方程为223yx，9)32(342，双曲线方程为13922yx【例】双曲线2224byx=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________。解：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y)，则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2)，即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2，又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|，依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4，依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2∴16+8c2＜50+2c2，∴c2＜317,又∵c2=4+b2＜317，∴b2＜35，∴b2=1。【例】当m取何值时，直线l：yxm与椭圆22916144xy相切，相交，相离？解：22916144yxmxy…………①②①代入②得22916()144xxm化简得222532161440xmxm222(32)425(16144)57614400mmm当0,即5m时，直线l与椭圆相切；当0，即55m时，直线与椭圆相交；当0，即5m或5m时，直线与椭圆相离。【例】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|=3104，试求椭圆的方程。解：|MF|max=a+c，|MF|min=a－c，则(a+c)(a－c)=a2－c2=b2，∴b2=4，设椭圆方程为14222yax①设过M1和M2的直线方程为y=－x+m②将②代入①得：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a2=0③精讲精练-9-设M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，M1M2的中点为(x0，y0)，则x0=21(x1+x2)=224ama，y0=－x0+m=244am。代入y=x，得222444amama，由于a2＞4，∴m=0，∴由③知x1+x2=0，x1x2=－2244aa，又|M1M2|=31044)(221221xxxx，代入x1+x2，x1x2可解a2=5，故所求椭圆方程为：4522yx=1。【例】某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长。需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(－10，－4）、(10，－4）设抛物线方程为x2=－2py，将A点坐标代入，