圆锥曲线复习讲义new

—1—选选修修22－－11第第二二章章：：圆圆锥锥曲曲线线第一讲：椭圆一、椭圆的基础知识：（一）椭圆的定义1.椭圆第一定义：平面内与两定点12,FF距离之和等于常数（大于12||FF）的点的轨迹叫做椭圆.为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF2．椭圆第二定义：平面内到一个定点（即焦点）的距离和到一条定直线的距离之比是常数(0,1)e的点的轨迹.（二）椭圆方程①椭圆的标准方程：（i）中心在原点，焦点在x轴上：)0(12222babyax.（ii）中心在原点，焦点在y轴上：)0(12222babxay.统一形式：222211,(0,0,)xymxnymnmnmn或例1：已知曲线22sincos1([0,])xy是焦点在x轴上的椭圆，求的取值范围.例2：已知方程12322kykx表示椭圆，则k的取值范围为____例3：已知方程12122mymx表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__②椭圆的标准参数方程：12222byax的参数方程为sincosbyax（为参数）.③椭圆系方程：（1）与已知椭圆22221(0)xyabab共焦点的椭圆方程为：222221()xybab（2）与已知椭圆22221(0)xyabab共离心率的椭圆方程为：221122222222x(0)y(0)xykkabyxkkab焦点在轴上：焦点在轴上：（三）椭圆的几何性质标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay图形范围bybaxa；－ayabxb；－—2—顶点),0()0,(ba；)0,(),0(ba；对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点)0,(F)0,(F21cc；，焦距cFF2||21),0(F)c,0(F21c；，焦距cFF2||21基本量与离心率长轴长a2，短轴长b2，焦距cFF2||21222acb，,,0,,abcabac)10(eace，离心率越大，椭圆越扁.准线方程cax2cay2焦半径公式设),(00yxP在椭圆上，则0201,exaPFexaPF.“左加右减”设),(00yxP在椭圆上，则0201,eyaPFeyaPF.“下加上减”注意：（数形结合记忆性质）①焦半径公式的推导：由椭圆方程的第二定义可以推出.（i）设),(00yxP为椭圆)0(12222babyax上的一点，21,FF为左、右焦点，则0201,exaPFexaPF（ii）设),(00yxP为椭圆)0(12222baaybx上的一点，21,FF为上、下焦点，则0201,eyaPFeyaPF推导：由椭圆第二定义可知：2210002000P()(0),P()(0)aaFexaexxFexexaxcc归结起来为“左加右减”.由椭圆第二定义可知：2210002000P()(0),P()(0)aaFeyaexyFeyexaycc归结起来为“下加上减”.②通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.通径长：222bda，端点坐标：2(,)bca和),(2abc③焦准距：焦点到准线的距离：22abdccc；④准线间距离：22ac⑤点00(,)Pxy和椭圆12222byax（0ab）的关系：（1）点00(,)Pxy在椭圆外2200221xyab；（2）点00(,)Pxy在椭圆上220220byax＝1；（3）点00(,)Pxy在椭圆内2200221xyab（四）两个基本三角形①基本量三角形：②焦点三角形21FPF的性质：若P是椭圆：22221(0)xyabab上的点，cab基本量三角形△OB2F2焦点三角形△PF1F2基本量三角形焦准距|F2M|=b2c准线间距：2a2c焦点三角形通径通径长：2b2a(c,-b2a)(c,b2a)(-c,-b2a)(-c,b2a)x=a2cx=-a2cyxB1A1MF1F2OA2B2P—3—21,FF为左，右焦点，则12FPF为焦点三角形.设12122112,,,||,||FPFPFFPFFPFmPFn，则（1）焦半径的最值：1min2min1max2max||||,||||PFPFacPFPFac（2）由椭圆定义：aPFPF221（22ac）（3）余弦定理：2222222212(2)()2444242coscos2222mncmnmncacmnbmnFPFmnmnmnmn正弦定理：1212121221122112||||||||||2sinsinsinsinsinsinsinFFPFPFPFPFaFPFPFFPFFPFFPFF（4）均值不等式：2222222mnabmna，2222()2222mnmnmnmnamn（5）焦点三角形周长：1212||||||22cPFPFFFac焦点三角形面积：12121212111||||||||sinsin222FPFpSFFyPFPFFPFmn（6）焦点三角形与焦点弦：如右图周长：211||||||4ABFLAFBFABa，面积：2121212111||||||||||||222ABFABABSFFyFFyFFyy二、椭圆的基本题型：（一）求椭圆的标准方程：①待定系数法：做好“两定”，一是：定位，即确定焦点位置；二是：定量，即确定基本量,,abc（I）明确焦点位置：关键构造含基本量的方程（组）.1.已知椭圆的两焦点为12(0,2),(0,2)FF，P是椭圆上的一点，且12||FF是12||,||PFPF的等差中项，则该椭圆方程是________________2.根据下列条件分别求椭圆的方程：（1）中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为8，离心率为12；（2）中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两个端点的视角为直角，且焦点到长轴上较近的顶点为105；（II）不明确焦点位置22xy1(,0,)mxnymnmn分类讨论：分焦点在轴上，焦点在轴上设为统一方程：3.（1）中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，求椭圆方程；（2）长轴长与短轴长之比为2，c＝215，求椭圆的标准方程。4.求经过两点35(,),(3,5)22AB的椭圆方程.②应用求轨迹方程的方法求椭圆方程：（I）直接法：yxF1OAF2B—4—5.（1）设动直线l垂直与x轴，且与椭圆2224xy交于A，B两点，P是l上满足1PAPB的点，求P的轨迹方程。（2）动点P与两个定点1(1,0),(1,0)FF连线的斜率之积等于m（0m），求点P的轨迹方程，并就m的不同取值讨论其轨迹形状。（II）定义法：6.已知圆C：22(1)25xy，点(1,0)A，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程。（III）相关点法（代入转移法）：7.在圆224xy上任取一点P，过点P作X轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是什么？变式：设点P是圆224xy上的任一点，定点D的坐标为（8，0）．当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．（IV）参数法：8.（V）交轨法：9.③应用椭圆系方程求椭圆方程：（1）与已知椭圆22221(0)xyabab共焦点的椭圆方程为：222221()xybab10.求与椭圆229436xy有相同的焦点，且经过(2,3)M的椭圆方程.（2）与已知椭圆22221(0)xyabab共离心率的椭圆方程为：221122222222x(0)y(0)xykkabyxkkab焦点在轴上：焦点在轴上：11.求过(1,2)M且与椭圆221126xy有相同的离心率的椭圆标准方程.（二）焦点三角形性质及焦半径公式的应用：12.已知12,FF是椭圆221169xy的左右焦点，过2F的直线于椭圆交于A，B，若||5AB，求12||||AFBF.13.椭圆221259xy的左右焦点为12,FF，P为椭圆上一点，1260FPF，求12PFF的面积。14..椭圆221259xy的左右焦点为12,FF，求椭圆上一点P，使12FPF的最大.15.椭圆221259xy的左右焦点为12,FF，求12||||PFPF的范围。—5—16.椭圆2212xy的左右焦点为12,FF，过2F作倾斜角为的弦，若1FAB的面积为43，求17.M是椭圆22194xy上一点，12,FF是椭圆的两个焦点，G是12MFF的内心，延长MG交12FF于N，则||||MGGN_____________18.已知12,FF是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，1260FPF，求椭圆离心率的范围；19.（1）短轴长为5，离心率32e的椭圆的两焦点为1F、2F，过1F作直线交椭圆于A、B两点，则2ABF的周长为________(2)椭圆22194xy的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当PF2→·PF1→0时，点P的横坐标的取值范围是___（三）与离心率有关的问题：(1)关键找出基本量a,c的关系eaceac求——找，的等量关系求的范围——找，的不等关系(2)由椭圆的第二定义知：若P是椭圆上的点，F是椭圆的焦点，且F对应的准线为l，P到l的距离为d，则||PFed20.椭圆22116xym的离心率为13，则m的值为：________________21.设椭圆22221(0)xyabab的离心率为1e2，右焦点为(0)Fc，，方程20axbxc的两个实根分别为1x和2x，则点12()Pxx，（）Ａ．必在圆222xy上Ｂ．必在圆222xy外Ｃ．必在圆222xy内Ｄ．以上三种情形都有可能21.设12FF，分别是椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P使线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范围是（）A．202，B．303，C．212，D．313，22.已知点F1、F2分别是椭圆22221xyab的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e是()．A．21B.22C.31D.33（四）直线与椭圆综合问题：代数方法：xyF1F2BA第22题图—6—y)222121212122000()1||(1)[()4](1)[()4]xxyABkxxxxyyyyk消去（或应用直线方程中点弦：中点坐标公式，点差法与弦的斜率关于或的一元二次方程椭圆方程弦长公式：韦达定理向量数量积（I）直线与椭圆的位置关系：两个公共点——相交；一个公共点——相切；无公共点——相离（II）求参数的值：由已知条件中的相等关系，构造含参数的等式.1.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A，焦点在x轴上，且右焦点到直线220xy的距离为3.（1）求椭圆的方程；（2）设直线:lyxm，是否存在实数m，使直线l与椭圆有两个不同的交点,MN，使||||AMAN？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.2.中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆，直线1yx与该椭圆交于P,Q两点，且OPOQ，10||2PQ，求椭圆方程.3.（07高考）已知椭圆