高考数学一轮单元复习：第66讲 数学归纳法

│数学归纳法│知识梳理知识梳理1．数学归纳法的适用对象数学归纳法是用来证明关于与有关命题的一种方法，若n0是起始值，则n0是.2．数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)当n＝时，验证命题成立；(2)假设n＝时命题成立，推证n＝时命题也成立，从而推出命题对所有的都成立，其中第一步是归纳“奠基”，第二步是归纳递推，二者缺一不可．正整数n使命题成立的最小正整数n0(n0∈N*)k＋1从n0开始的正整数nk(k≥n0,k∈N*)│要点探究要点探究►探究点1利用数学归纳法证明等式例11通过计算可得下列等式：22－12＝2×1＋1，32－22＝2×2＋1，42－32＝2×3＋1，……(n＋1)2－n2＝2×n＋1.将以上各式两边分别相加得(n＋1)2－12＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n，│要点探究即1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12，类比上述求法：请你求出12＋22＋32＋…＋n2的值，并用数学归纳法证明你的结论．【思路】用类比法得出结论，数学归纳法证明．│要点探究【解答】23－13＝3×12＋3×1＋1，33－23＝3×22＋3×2＋1，43－33＝3×32＋3×3＋1，……(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.将以上各式左右分别相加，得(n＋1)3－13＝3×(12＋22＋32＋…＋n2)＋3×(1＋2＋3＋…＋n)＋n.所以得12＋22＋32＋…＋n2＝13[(n＋1)3－1－n－3·1＋n2·n]＝16n(n＋1)(2n＋1)．│要点探究即12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)．证明：(1)n＝1时，左边＝1，右边＝16×1×(1＋1)(2＋1)＝1，∴等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＝16k(k＋1)(2k＋1)．则当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝16k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2│要点探究＝16(k＋1)(2k2＋k＋6k＋6)＝16(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝16(k＋1)(2k＋3)(k＋2)＝16(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]．∴n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)知，结论对n∈N*恒成立．│要点探究【点评】用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项；难点在于寻求等式当n＝k和n＝k＋1时的联系．│要点探究►探究点2用数学归纳法证明整除问题例2试证当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．【思路】首先在f(k＋1)中分析出含有f(k)的表达式作为第一项，为了使两边恒等，用多减少加的方法把f(k＋1)中的其余项拆为第二项，而第二项也具有命题的性质．│要点探究【解答】证明：(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除，命题成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，则由于f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝(9×32k＋2－9×8k－9×9)＋9×8k＋9×9－8k－17＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)│要点探究即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)．∵根据归纳假设f(k)能被64整除，∴n＝k＋1时，f(k＋1)也能被64整除，即n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)可知，对任意的n∈N*命题都成立．【点评】在利用数学归纳法证明时，关键是第二步，若第二步不能用上归纳假设，则这一步的证明一定是错误的．本题的证明关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证．│要点探究│要点探究►探究点3用数学归纳法证明不等式例3已知a0，b0，n1，n∈N*.用数学归纳法证明：an＋bn2≥a＋b2n.【解答】(1)当n＝2时，左边－右边＝a2＋b22－a＋b22＝a－b22≥0，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*，k1)时，不等式成立，即ak＋bk2≥a＋b2k.│要点探究∵a0，b0，n1，n∈N*，∴(ak＋1＋bk＋1)－(akb＋abk)＝(a－b)(ak－bk)≥0.即ak＋1＋bk＋1≥akb＋abk.∴当n＝k＋1时，a＋b2k＋1＝a＋b2ka＋b2≤ak＋bk2·a＋b2＝ak＋1＋bk＋1＋akb＋abk4≤ak＋1＋bk＋1＋ak＋1＋bk＋14＝ak＋1＋bk＋12.│要点探究即当n＝k＋1时，不等式也成立．∴综合(1)(2)知，对于a0，b0，n1，n∈N*，不等式an＋bn2≥a＋b2n总成立．│要点探究变式题[2009·安徽卷]首项为正数的数列{an}满足an＋1＝14(a2n＋3)，n∈N*.(1)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；(2)若对一切n∈N*都有an＋1an，求a1的取值范围．【思路】对于(1)可依据数学归纳法步骤证明；对于(2)要依据数学归纳法的证明原理，讨论an＋1an恒成立求解a1的取值范围．│要点探究【解答】(1)已知a1是奇数，假设ak＝2m－1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak＋1＝a2k＋34＝m(m－1)＋1是奇数．根据数学归纳法，对任何n∈N*，an都是奇数．(2)方法一：∵an＋1－an＝14(an－1)(an－3)，∴要使an＋1an对一切n∈N*都成立，则an1或an3.下面用数学归纳法探究a1的取值范围：│要点探究(1)当n＝1时，由an＋1＝14(a2n＋3)，n∈N*.得a2＝14(a21＋3)，∵a2a1，∴14(a21＋3)a1，解得0a11或a13.另一方面，若0ak1，则0ak＋11＋34＝1；若ak3，则ak＋132＋34＝3.根据数学归纳法，0a110an1，n∈N*；a13an3，n∈N*.综上所述，对一切n∈N*都有an＋1an的充要条件是0a11或a13.│要点探究方法二：由a2＝a21＋34a1，得a21－4a1＋30，于是0a11或a13.an＋1－an＝a2n＋34－a2n－1＋34=an＋an－1an－an－14，因为a10，an＋1＝a2n＋34，所以所有的an均大于0，因此an＋1－an与an－an－1同号．根据数学归纳法，n∈N*，an＋1－an与a2－a1同号．因此，对一切n∈N*都有an＋1an的充要条件是0a11或a13.│要点探究例4已知点列Pnan，bn满足：①P113，23，an＋1an＝bn＋1，②bnbn＋1＝1－a2n，n∈N*.(1)试判断点列Pnn∈N*的位置关系，并证明你的结论；(2)O为坐标原点，设△OPn－1Pn的面积为Sn，求证：S1＋S2＋S3＋…＋Sn14..►探究点4用数学归纳法证明与正整数有关的综合性问题│要点探究【解析】(1)由a1＝13，b1＝23，得b1＝b21－a21，解得b2＝34，又a2＝a1b2，所以a2＝14，∴P214，34，故经过点P1、P2的直线l的方程为x＋y－1＝0.猜想点列Pnn∈N*在直线l上.下面用数学归纳法证明：【思路】(1)由递推关系求出P2的坐标，由两点式写出直线P1P2的方程．猜想Pn与P1P2的位置关系．然后用数学归纳法给予证明．│要点探究①当n＝2时，点P2∈l已证．②假设当n＝kn≥2时，点Pk∈l，即ak＋bk＝1，则当n＝k＋1时，ak＋1＋bk＋1＝akbk＋1＋bk＋1＝1＋akbk＋1＝1＋akbk1－a2k＝bk1－ak＝1.即ak＋1＋bk＋1＝1，故ak＋1，bk＋1满足x＋y－1＝0，所以点Pk＋1∈l.由①②可知，对任意n≥2，n∈N*都有点Pn∈l.│要点探究(2)由an＋1＝an·bn＋1，bn＝bn＋11－a2n，an＋bn＝1，得an＋1＝an·bk1－a2k＝an·1－an1－a2n＝an1＋an.于是，1an＋1－1an＝1，所以数列1an是以3为首项，公差为1的等差数列．所以1an＝2＋n，an＝12＋n.bn＝1－an＝1－1n＋2＝n＋1n＋2.O点到直线x＋y－1＝0的距离为d＝22，│要点探究Pn－1Pn＝an－an－12＋bn－bn－121n＋2－1n＋12＋n＋1n＋2－nn＋12＝2n＋2n＋1，Sn＝12·22·2n＋2n＋1＝121n＋1－1n＋2.S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝1212－13＋13－14＋14－15＋…＋1n＋1－1n＋2＝1212－1n＋214【点评】由特殊到一般的不完全归纳是解决数学问题的一种重要方法，特别是含有递推关系的数学问题，当用直接证明无法解决时，可以考虑用数学归纳法．本题立意新颖，巧妙地把解析几何、数列、数学归纳法有机地结合在一起．这在许多模拟考试中也非常普遍，如：│要点探究│要点探究变式题[2009·泰州模拟]如图66－1所示，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、…、Pn(xn，yn)(0y1y2…yn)是曲线C：y2＝3x(y≥0)上的n个点，点Ai(ai,0)(i＝1,2,3，…，n)在x轴的正半轴上，且△Ai－1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)．(1)写出a1、a2、a3；(2)求出点An(an,0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式．图66－1│要点探究【思路】利用Pn(xn，yn)在曲线上可求得a1、a2、a3；同样，可以由此得到递推式，通过归纳——猜想——证明的思路求解an的表达式．【解答】(1)设P1(x1，y1)，A1(a1,0)，则x1＝a12，即a1＝2x1.由y2＝3x得y1＝3x1.由|A0P1|＝|OA1|得x21＋y21＝a1.即a214＋32a1＝a21.即a10，∴a1＝2.│要点探究同理可得a2＝6，a3＝12.(2)依题意，得xn＝an－1＋an2，yn＝3·an－an－12，由此及y2n＝3xn得3·an－an－122＝32(an－1＋an)，即(an－an－1)2＝2(an－1＋an)．由(1)可猜想：an＝n(n＋1)(n∈N*)．下面用数学归纳法予以证明：①当n＝1时，命题显然成立；│要点探究②假设当n＝k时命题成立，即有ak＝k(k＋1)，则当n＝k＋1时，由归纳假设及(ak＋1－ak)2＝2(ak＋ak＋1)得[ak＋1－k(k＋1)]2＝2[k(k＋1)＋ak＋1]，即a2k＋1－2(k2＋k＋1)ak＋1＋[k(k－1)]·[(k＋1)(k＋2)]＝0，解之得ak＋1＝(k＋1)(k＋2)或ak＋1＝k(k－1)ak(此式不合题意，舍去)，即当n＝k＋1时，命题成立．由①②知原命题成立．│规律总结规律总结数学归纳法是用来证明与整数n有关的数学命题的一种常用方法，应用时应注意以下三点：1．验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0就是要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“打准起点，奠基要稳”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题．2．递推乃关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过│规律总结程，必须把归纳假设“n＝k”作为条件来导出“n＝k＋1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次．3．寻找递推关系(1)在第一