等差数列的前n项和练习 含答案

课时作业8等差数列的前n项和时间：45分钟满分：100分课堂训练1．已知{an}为等差数列，a1＝35，d＝－2，Sn＝0，则n等于()A．33B．34C．35D．36【答案】D【解析】本题考查等差数列的前n项和公式．由Sn＝na1＋nn－12d＝35n＋nn－12×(－2)＝0，可以求出n＝36.2．等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则数列前13项的和是()A．13B．26C．52D．156【答案】B【解析】3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24⇒6a4＋6a10＝24⇒a4＋a10＝4⇒S13＝13a1＋a132＝13a4＋a102＝13×42＝26.3．等差数列的前n项和为Sn，S10＝20，S20＝50.则S30＝________.【答案】90【解析】等差数列的片断数列和依次成等差数列．∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列．∴2(S20－S10)＝(S30－S20)＋S10，解得S30＝90.4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.【分析】(1)应用基本量法列出关于a1和d的方程组，解出a1和d，进而求得S28；(2)因为数列不是常数列，因此Sn是关于n的一元二次函数且常数项为零．设Sn＝an2＋bn，代入条件S12＝84，S20＝460，可得a、b，则可求S28；(3)由Sn＝d2n2＋n(a1－d2)得Snn＝d2n＋(a1－d2)，故Snn是一个等差数列，又2×20＝12＋28，∴2×S2020＝S1212＋S2828，可求得S28.【解析】方法一：设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋nn－12d.由已知条件得：12a1＋12×112d＝84，20a1＋20×192d＝460，整理得2a1＋11d＝14，2a1＋19d＝46，解得a1＝－15，d＝4.所以Sn＝－15n＋nn－12×4＝2n2－17n，所以S28＝2×282－17×28＝1092.方法二：设数列的前n项和为Sn，则Sn＝an2＋bn.因为S12＝84，S20＝460，所以122a＋12b＝84，202a＋20b＝460，整理得12a＋b＝7，20a＋b＝23.解之得a＝2，b＝－17，所以Sn＝2n2－17n，S28＝1092.方法三：∵{an}为等差数列，所以Sn＝na1＋nn－12d，所以Snn＝a1－d2＋d2n，所以Snn是等差数列．因为12,20,28成等差数列，所以S1212，S2020，S2828成等差数列，所以2×S2020＝S1212＋S2828，解得S28＝1092.【规律方法】基本量法求出a1和d是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10等于()A．100B．210C．380D．400【答案】B【解析】d＝a4－a24－2＝15－72＝4，则a1＝3，所以S10＝210.2．在等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，则a10＝()A．27B．24C．29D．48【答案】C【解析】由已知2a1＋5d＝19，5a1＋10d＝40.解得a1＝2，d＝3.∴a10＝2＋9×3＝29.3．数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n－1，则这个数列一定是()A．等差数列B．非等差数列C．常数列D．等差数列或常数列【答案】B【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－1－[(n－1)2＋2(n－1)－1]＝2n＋1，当n＝1时a1＝S1＝2.∴an＝2，n＝1，2n＋1，n≥2，这不是等差数列．4．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8D．9【答案】A【解析】a1＝－11，a4＋a6＝－6，∴a1＝－11，d＝2，∴Sn＝na1＋nn－12d＝－11n＋n2－n＝n2－12n.＝(n－6)2－36.即n＝6时，Sn最小．5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于()A．22B．21C．19D．18【答案】D【解析】∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146，∴5(a1＋an)＝180，a1＋an＝36，Sn＝na1＋an2＝n×362＝234.∴n＝13，S13＝13a7＝234.∴a7＝18.6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为()A．8B．7C．6D．5【答案】D【解析】S奇＝6a1＋6×52×2d＝30，a1＋5d＝5，S偶＝5a2＋5×42×2d＝5(a1＋5d)＝25，a中＝S奇－S偶＝30－25＝5.7．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知SnTn＝7nn＋3，则a5b5等于()A．7B.23C.278D.214【答案】D【解析】a5b5＝2a52b5＝a1＋a9b1＋b9＝92a1＋a992b1＋b9＝S9T9＝214.8．已知数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于()A．445B．765C．1080D．1305【答案】B【解析】an＋1－an＝3，∴{an}为等差数列．∴an＝－60＋(n－1)×3，即an＝3n－63.∴an＝0时，n＝21，an0时，n21，an0时，n21.S′30＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝－a1－a2－a3－…－a21＋a22＋a23＋…＋a30＝－2(a1＋a2＋…＋a21)＋S30＝－2S21＋S30＝765.二、填空题(每小题10分，共20分)9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则数列的通项公式an＝________.【答案】2n【解析】设等差数列{an}的公差d，则a1＋5d＝12a1＋d＝4，∴a1＝2d＝2，∴an＝2n.10．等差数列共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于________．【答案】10【解析】∵等差数列共有2n＋1项，∴S奇－S偶＝an＋1＝S2n＋12n＋1.即132－120＝132＋1202n＋1，求得n＝10.【规律方法】利用了等差数列前n项和的性质，比较简捷．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在等差数列{an}中，(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；(2)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d.【分析】在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式和前n项和公式，先求出a1和d，然后再求前n项和或特别的项．【解析】(1)∵a6＝10，S5＝5，∴a1＋5d＝10，5a1＋10d＝5.解方程组，得a1＝－5，d＝3，∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S8＝8a1＋a82＝44.(2)由Sn＝na1＋an2＝n－512＋12＝－1022，解得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.【规律方法】一般地，等差数列的五个基本量a1，an，d，n，Sn，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a1和d，然后再用公式求出其他的量．12．已知等差数列{an}，且满足an＝40－4n，求前多少项的和最大，最大值为多少？【解析】方法一：(二次函数法)∵an＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，∴Sn＝a1＋ann2＝36＋40－4n2·n＝－2n2＋38n＝－2[n2－19n＋(192)2]＋1922＝－2(n－192)2＋1922.令n－192＝0，则n＝192＝9.5，且n∈N＋，∴当n＝9或n＝10时，Sn最大，∴Sn的最大值为S9＝S10＝－2(10－192)2＋1922＝180.方法二：(图象法)∵an＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，a2＝40－4×2＝32，∴d＝32－36＝－4，Sn＝na1＋nn－12d＝36n＋nn－12·(－4)＝－2n2＋38n，点(n，Sn)在二次函数y＝－2x2＋38x的图象上，Sn有最大值，其对称轴为x＝－382×－2＝192＝9.5，∴当n＝10或9时，Sn最大．∴Sn的最大值为S9＝S10＝－2×102＋38×10＝180.方法三：(通项法)∵an＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，a2＝40－4×2＝32，∴d＝32－36＝－40，数列{an}为递减数列．令an≥0，an＋1≤0，有40－4n≥0，40－4n＋1≤0，∴n≤10，n≥9，即9≤n≤10.当n＝9或n＝10时，Sn最大．∴Sn的最大值为S9＝S10＝a1＋a102×10＝36＋02×10＝180.【规律方法】对于方法一，一定要强调n∈N＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n＝9或n＝10，需注意am＝0时，Sm－1＝Sm同为Sn的最值．