一元二次方程讲义

1、用直接开平方法解一元二次方程(1)一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根．(2)直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n0)的方程．已知x＝1是一元二次方程x2－mx＋2m＝0的一个解，则m的值是()A．－1B．1C．0D．0或1用直接开平方法解下列方程(1)x2－16＝0;(2)3x2－27＝0；(3)(x－2)2＝9;(4)(2y－3)2＝16.2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤：(1)移项，把方程的常数项移到方程的右边，使方程的左边只含二次项和一次项；(2)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式；(3)用直接开平方法求出它的解．填上适当的数，使下列等式成立．(1)x2＋6x＋________＝(x＋________)2；(2)x2－6x＋________＝(x－________)2；(3)x2＋6x＋4＝x2＋6x＋________－________＋4＝(x＋________)2－________．用配方法解方程：x2＋2x－1＝0.3、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：(1)把原方程化为一般形式；(2)二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；(3)移项，把常数项移到右边，使方程左边只含二次项和一次项；(4)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；(5)用直接开平方法解方程．用配方法解方程：－12x2＋52x－54＝0.已知a2－3a＋b2－b2＋3716＝0，求a－4b的值．请用配方法说明：不论x取何值，代数式x2－5x＋7的值恒为正．4、公式法方程3x2－8＝7x化为一般形式是__________，其中a＝________，b＝________，c＝________，方程的根为____________．用公式法解下列方程：(1)－3x2－5x＋2＝0;(2)2x2＋3x＋3＝0；(3)x2－2x＋1＝0.探究点三：根的判别式【类型一】用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判断正确的是()A．该方程有两个相等的实数根B．该方程有两个不相等的实数根C．该方程无实数根D．该方程根的情况不确定若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k－1B．k－1且k≠0C．k1D．k1且k≠0【类型三】利用根的判别式判断三角形的形状已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2max＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状．是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．5、因式分解法解一元二次方程理论依据：若ab＝0，则a＝0或b＝0提公因式法分解因式公式法分解因式用因式分解法解下列方程(1)x2＋5x＝0；(2)(x－5)(x－6)＝x－5.用公式法分解因式解下列方程：(1)x2－6x＝－9；(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.6、选择一元二次方程的解法基本思路：降次方法直接开平方法配方法因式分解法公式法方程(x－3)(x＋1)＝x－3的解是()A．x＝0B．x＝－3C．x＝3或x＝－1D．x＝3或x＝0用适当的方法解方程：(1)3x(x＋5)＝5(x＋5)；(2)3x2＝4x＋1；(3)5x2＝4x－1.7、一元二次方程根的判别式x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.(1)一元二次方程根的判别式：b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作“Δ”．(2)利用判别式判断ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况：当Δ0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0时，方程没有实数根．不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x2＋3x－4＝0；(2)x2－x＋14＝0；(3)x2－x＋1＝0.已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()A．a2B．a2C．a2且a≠1D．a－28、一元二次方程根与系数的关系关系：如果方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca应用求代数式的值求方程的根求字母系数的值利用根与系数的关系，求方程3x2＋6x－1＝0的两根之和、两根之积．设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．(1)(x1＋2)(x2＋2)；(2)x2x1＋x1x2.已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一根及k的值．已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，求m的值．9、增长率问题与经济问题探究点一：增长(降低)率问题某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3，4月份销售额的月平均增长率．探究点二：经济问题某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件．已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？10、图形面积问题【类型一】面积问题要对一块长60米，宽40m的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化，设计方案如图所示，矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD的面积的14，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽．【类型二】动点问题如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．