Cournot和Bertrand竞争下的质量选择

，梁樑1，熊立21中国科学技术大学管理学院，安徽合肥（230026）2上海移动能力评价与发展中心，上海（200134）Email：[e-mail]摘要：数量竞争（Cournot）和价格竞争（Bertrand）两种不同竞争方式的比较一直受到学术上的关注。随着产品质量在竞争中的起到越来越重要的作用，对于不同竞争方式下的质量选择的对比研究具有重要的意义。本文使用两阶段博弈模型对比了Cournot竞争和Bertrand竞争下的均衡质量。在双寡头竞争情况下的理论分析结果显示不同的市场条件，具有不同的对比结果。而多寡头情况下的算例分析则揭示Cournot竞争比Bertrand竞争具有更高的均衡质量。关键字：Cournot竞争，Bertrand竞争，质量中图分类号：N9451.引言Cournot模型和Bertrand模型是两个经典的竞争模型。自从Bertrand提出价格竞争相对于数量竞争来说，具有更低的均衡价格和更高的均衡产出以来，两个模型的比较分析就一直是寡头竞争研究的重点之一。Amir和Jin[1]研究了同时具有替代和补充效应的产品在两种竞争方式下的差异。而Akgun[2]在同样的背景下，认为Bertrand均衡相对于Cournot均衡来说具有更低的价格，再次印证了Bertrand的观点。Kabiraj和Roy[3]从产品研发投资的角度研究了两种不同竞争之间的差异，他们发现不仅仅Cournot竞争中均衡的研发投入要高于Bertrand竞争，而且在某些情况下Cournot均衡中的价格有可能低于Bertrand竞争。Wang和Zhao[4]研究了成本降低对于这两种竞争形态下的社会福利水平的影响，结果显示成本降低对于Cournot竞争中社会福利的提升具有更大的作用。两种不同竞争方式中的质量选择问题同样受到了学术界的关注。Motta[5]研究了固定成本和可变成本两种情况下的不同竞争方式均衡质量的选择。Aoki[6]也做了与Motta相似的研究，同时Aoki[7]还探讨了质量揭露对于两种不同竞争方式的影响。关于质量在两种不同竞争方式中的研究多集中于两个竞争者的情况，即双寡头垄断，并且往往着重于因素对于两种情况下均衡质量的影响，缺少对于两种竞争方式下均衡质量的直接比较。因此，本文通过两种竞争博弈模型，比较寡头垄断、双寡头竞争和多寡头竞争下的不同竞争方式的均衡质量。2.两种竞争模型系统中有多个厂商，这些厂商生产具有替代作用的产品，因此存在着竞争关系。厂商之间的竞争可以分为两个阶段：首先选择产品的质量，然后再选择产品的价格或者数量。根据第二个阶段的决策变量不同，可以分为两类。当第二阶段决策变量是产品数量时，称为Cournot模型，当第二阶段决策变量是产品价格时，称为Bertrand模型。假设有个厂商，第个厂商产品的质量记为Niix，产品的价格和数量分别记做ip和。iq基金项目:国家自然科学基金(70525001)，高等学校博士学科点专项科研基金资助课题(20030358052)作者简介:杨树(1981-),男(汉族),安徽阜阳人,中国科学技术大学管理学院,博士研究生,研究方向:供应链优化,供应链管理1厂商的成本包括两个与质量相关的部分，单位变动成本1icixθ=和固定的质量投资成本22iCixθ=。根据本文的研究目的，模型中仅考虑同质量相关的成本。2.1Cournot竞争使用逆推的方法求解两阶段Cournot竞争问题。首先考虑第二个阶段的Cournot竞争。参考Banker等[8]的设置，对于厂商i来说，设其需求的价格函数为：iijijijipqqxαβγλμ≠≠=−−+−∑jx∑(1)其中0βγ≥和0λμ≥。厂商的利润函数为：i212()iijijiijijiqqxxxqixπαβγλμθθ≠≠=−−+−−−∑∑容易得到昀优的数量选择反应函数为12jijjijiiqxxxqiαγλμθβ≠≠−+−−=∑∑。加总所有的反应函数得到总的市场需求数量，然后从新带入即可得到厂商i昀优数量选择（其中1NiiXx==∑）：11()[(1)]{}2(1)2(2)[2(1)]2iixnqXnnλμθγλμθαμβγβγβγβγβγ+−−−−=+−++−−−+−−(2)对于第一个阶段的质量选择问题，厂商i的利润函数化为：222()inninjjiiASxWxxπβθ≠=+−−∑其中：2(1nAn)αβγ=+−，11[(1)]2(2)[2(1)]nnSnλθγλμθβγβγβγ−−−−=−−−+−1[(1)](2)[2(1)]2nnWnγλμθμβγβγβγ−−−=+−+−−根据一阶和二阶条件，容易得到当22nSθβ时，存在昀优的质量选择为：22(1)CnnnnnASxSWnSβθββ=+−−(3)2.2Bertrand竞争在求解Bertrand竞争模型之前，首先要现将Cournot竞争模型的需求函数转换为Bertrand竞争模型的需求函数。Cournot模型的需求函数为iijijxjijipqqxαβγλμ≠≠=−−+−∑∑iN，∀∈，等价于以下矩阵等式：2αβγλμαγβμλα⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠……令()nAβγ1nIβγγγβ⎛⎞⎜⎟==−⎜⎟⎜⎟⎝⎠…+，可以求出相应的逆矩阵为：11[1](1)()[(1)]11()[(1)]1[1]()[(1)](1)nnnnAInnnγγβγβγβγβγγβγβγβγγγβγβγβγβγ−⎛⎞−−⎜⎟−+−−+−⎜⎟=−=⎜⎟−−+−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟−+−−+−⎝⎠…带入矩阵等式可以得到质量关于价格的函数如下：1122111............nnqpqpAAAqpαλμαμλα−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠…12nxxx带入可以得到Bertrand模型的需求函数如下：1A−1[1](1)(1)()[(1)](2)(1)()[(1)]()[(1)]iijiijjiqpnnnnnxxnnjpαγγβγβγβγβγβγλβλγμγμβλγβγβγβγβγ≠≠=−−++−−+−−+−+−+−++−−+−−+−∑∑令(1)anαβγ=+−,1[1](1)bnγβγβγ=−−+−,()[(1)dn]γβγβγ=−+−(2)(1)()[(1)]nnenλβλγμγβγβγ+−+−=−+−,()[(1)]fnμβλγ+βγβγ=−+−j则上述需求函数化简为iijijijiqabpdpexfx≠≠=−++−∑∑在第二个阶段，厂商i的需求函数为：iijijijiqabpdpexfx≠≠=−++−j∑∑(4)其中：(1)anαβγ=+−，1[1](1)bnγβγβγ=−−+−，()[(1)dn]γβγβγ=−+−，(2)(1)()[(1)]nnenλβλγμγβγβγ+−+−=−+−，()[(1)]fnμβλγ+βγβγ=−+−3()()iiiijijjijipxabpdpexfxxiπθθ≠≠=−−++−−∑∑。利用和Cournot模型相似的求解方法，可以得到昀优的价格为：11()[(1)]{}2(1)22(1)2iiefbxdefnbaXpfbdnbdbdnbdθθ++−−+=++−−−+−−+(5)对于第一个阶段，厂商选择产品质量，厂商i的利润函数化为：2212[()]inninjjibGHxIxxiπθθ≠=+−−−∑其中：2(naGbdn=1)−−，1[(1)]1{}2(1)2ndefnbIfbdnbdθ−−+=−−−+，11[(1)]1{}222(1)nefbdefnbHfbdbdbdnθθ++−−+=+++−−−根据一阶和二阶条件，容易得到当221()nHbθθ−时，存在昀优的质量选择为：1221()()(1)(BnnnnnbGHxbIHnbH1)θθθθ−=+−−−−(6)3.对比分析本节将分三种情况对比Cournot和Bertrand竞争下的质量均衡。当市场为寡头垄断和双寡头垄断的情况下，进行理论分析。而当竞争者数量超过两个的时候，由于表达式的复杂性，将使用算例进行分析说明。3.1，寡头垄断市场1N=当时，此时为单寡头市场，即没有竞争者存在，单个厂商根据市场需求确定自身昀优的产品质量。容易得到此时Cournot竞争和Bertrand竞争的质量选择为：1N=1221()4(CBxx)αλθβθλθ−==−−由于不存在竞争，因此第二个阶段的对于第一个阶段的决策没有产生影响，故两种情况下的质量选择是一样的。3.2，双寡头竞争市场2N=当时，此时市场上仅有两个竞争者，他们的决策收到相互的制约。此时两种情况下的质量选择分别为：2N=2211(2)(2)()2()Cxαβθβγβγβθμλβλθγμ=−+++−−+4(2)()(2)()[2()()(2)]Bxαβθβγβγβγβμθλβλβμγγμβλγγβθ=++−++−+−++−通过结论通过以下定理给出：定理一：（1）如果10λθ−，则当1λθμ−时，CBxx；当1λθμ−时，CBxx。（2）如果10λθ−，则当12tμλθ−−时，CBxx；当1222ttt1μμλθ−−−−时，CBxx；当1221ttμλθ−−−时，CBxx。其中/tβγ=。证明：2222221122111211(2)(2)(2)()(2)2()2()()(2(21)(1)(21)(2)(2)[]2()(21)()()[2()][(21)()]tttttttttθβγβγθβγβγβγ)βλθγμβλβμγγμβλγγβθθβγβγλθμλθμμλθλθμλθμ−+++−−−++−++−++−=−+−−+−−+−−=−+−−+当10λθ−时，由于/t1βγ=≥，因此分母为正。故如果1λθμ−，上式大于0，表示CBxx；如果1λθ−μ，上式小于0，表示CBxx当10λθ−时，上式中分子恒为正：（1）如果12tμλθ−−，则因为222ttt1μμ−−−，必有1221ttμλθ−−−，此时分母为正。故上式大于0，表示CBxx；（2）如果1222ttt1μμλθ−−−−，此时分母为负。故上式小于0，表示CBxx；（3）如果1221ttμλθ−−−，则必有12tμλθ−−，此时分母为正。故上式大于0，表示CBxx。通过上述定理可以得到，双寡头垄断市场上，在不同的市场配置的条件下，两种竞争方式的质量选择有着不同的关系。3.3，多寡头竞争市场2N当厂商数量超过2时，市场上存在着多个竞争企业，此时由于表达式如下：2211(2)[2(1)][(1)1](1)[2(2)](1)Cxnnnnαθγγμθθγμγ=−+−+−+−−+−+−5[2(1)][2(1)][(1)()()BnnnaxbdnbdnInbHbHθ]θθ=−−+−−−−−−复杂的表达式无法通过数学分析来推导出两种竞争情况下的质量选择关系。这种情况下，本文通过算例来进行仿真试验，说明不同参数条件下的对比结果。分为一下几种情况进行讨论。表1算例Caseαβγλμ1θ2θ115010.80.20.10.10.8215010.80.20.10.21.631500.70.110.80.10.841500.70.110.80.21.6四个算例代表四种不同的市场情况。Bertrand模型中参数b数值的大小衡量了消费者对于价格的敏感程度，而参