线性代数 第五章

1第五章特征值与二次型§1向量的内积在空间几何中，内积描述了向量的度量性质，如长度、夹角等.由内积的定义：cosxyyx，可得cos()=,y,xyxxxxyx且在直角坐标系中123123112233()()=x,x,xy,y,yxyxyxy.将上述三维向量的内积概念自然地推广到n维向量上，就有如下定义。定义1设有n维向量12nxxxx，12nyyyy，称1122nnxyxyxy,xy为x与y的内积.内积是向量的一种运算，用矩阵形式可表为,xyxy.例1计算,xy，其中x,y如下：(1)x＝（０，１，５，－２），y＝（－２，０，－１，３）；(2)x＝（－２，１，０，３），y＝（３，－６，８，４）.解(1)［x,y］＝０·（－２）＋１·０＋５·（－１）＋（－２）·３＝－１１；(2)［x,y］＝（－２）·３＋１·（－６）＋０·８＋３·４＝０.若ｘ、ｙ、ｚ为n维实向量，λ为实数，则下列性质从内积的定义可立刻推得.(i)［x,y］＝［y,x］，(ii)［λx,y］＝λ［x,y］，(iii)［x+y,z］＝［x,z］＋［y,z］.同三维向量空间一样，可用内积定义n维向量的长度和夹角.定义2称22212nxxxxxx为向量x的长度(或范数)，当‖x‖＝1时称x为单位向量.从向量长度的定义可立刻推得以下基本性质：（ｉ）非负性：当x≠0时，‖x‖＞０，当x＝０时‖x‖＝０.2（ｉｉ）齐次性：‖λx‖＝｜λ｜‖x‖.（ｉｉｉ）三角不等式：‖x＋y‖≤‖x‖＋‖y‖.（ｉｖ）柯西-许瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式:［x，y］２≤‖x‖２‖y‖２.由柯西-许瓦茨不等式可得,xyyx≤１（‖x‖·‖y‖≠０）.于是我们定义，当‖ｘ‖≠０，‖ｙ‖≠0时，称arccos,xyyx为x与y的夹角.当［x，y］＝０时，称x与y正交.显然，n维零向量与任意n维向量正交.称一组两两正交的非零向量组为正交向量组.定理1若n维非零向量12r,,,为正交向量组，则它们为线性无关向量组.证设有12r,,,使1riiiλ.0，分别用k与上式两端作内积(k＝１，２，…，r)，即得k0kkk,.,0因0k，故20kkk,，从而012k,k,,,r，于是12r,,,线性无关.在研究向量空间的问题时，常采用正交向量组作为向量空间的一组基，以便使问题得到简化，那么n维向量空间的正交基(基中向量两两正交)是否存在呢?定理2若12r,,,是正交向量组，且ｒ＜n，则必存在n维非零向量x，使12r,,,，x也为正交向量组.证x应满足12000r,,,xxx，即12000r.x记312r,A则()RrnA，故齐次线性方程组Ax＝０必有非零解，此非零解即为所求.推论r个（rn）两两正交的n维非零向量总可以扩充成Rn的一个正交基.例2已知1＝（１，１，１）′，2＝（１，－２，１）′正交，试求一个非零向量3，使123,,两两正交.解解方程组12311101210xx,x得基础解系为101，取3＝101，则3即为所求.定义3设n维向量12r,,,eee是向量空间()nVVR的一个基，如果12r,,,eee两两正交，且都是单位向量，则称之为V的一个正交规范基(标准正交基).若12r,,,eee是V的一个正交规范基，则V中任一向量可由12r,,,eee惟一线性表示，设为1122rr,eee则由iiiiieee，得iiii,,=ee惟一确定，i＝１,２，…，r.下面介绍将向量空间()nVVR的任一基12r,,,转换为一正交规范基的Schmidt正交化方法，其具体步骤如下：取121122111121121112211rrrrrrrrr,,,,,,,,,,,4容易验证12r,,,两两正交，非零.然后将它们单位化，即令121212rrr,,,,eee则12r,,,eee就是V的一个正交规范基.例3已知1＝(1,－1,0)′、2＝(1,0,1)′，r＝(1,－1,1)′是R3的一个基，试用施密特正交化方法，构造R3的一个正交规范基.解取11122211113233312112211011121011221011131122111133200113,,,,,,,,,再将123,,,单位化，即得R3的一个正交规范基31212331211163211163221063,,.eee定义4如果n阶方阵满足A′A＝E（即A－１＝A′），就称A为正交矩阵.用A的列向量表示，即是1212(,,,)=,nnE5亦即()=().ijij由此得到n２个关系式1==120ijijij,i,j,,,n.ij这说明，方阵A为正交矩阵的充分必要条件是：A的列向量组构成Rn的正交规范基，注意到Ａ′Ａ＝Ｅ＝ＡＡ′，所以上述结论对A的行向量组也成立.例4验证矩阵1111222211112222110022110022A是正交矩阵.解A的每个列向量都是单位向量且两两正交，故A是正交矩阵.由正交矩阵定义，不难得到下列性质.（i）若A是正交矩阵，则｜Ａ｜２＝１.（ii）若A是正交矩阵，则Ａ′，Ａ－１也是正交矩阵.（iii）若Ａ，Ｂ是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵.定义5若T是正交矩阵，则线性变换y＝Ｔx称为正交变换.设y＝Ｔx是正交变换，则有.yyxTTxxxyx这表明，经正交变换向量的长度保持不变，这是正交变换的优良特性之一.其实正交变换相当于反射和旋转的叠合，例如cossinsincosT为正交矩阵，正交变换y＝Ｔx相当于旋转θ角，再关于纵轴对称反射.§2方阵的特征值和特征向量工程技术中振动问题和稳定性，往往归结为一个方阵的特征值和特征向量的问题，特征值、特征向量的概念，不仅在理论上很重要，而且可以直接用来解决实际问题.定义6设A为n阶方阵，若存在数λ和非零n维向量x，使得Ａx＝λx，（5.1）则称λ为矩阵A的特征值，称x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量.(5.1)式也可写成6（Ａ－λＥ）x＝０.（5.2）(5.2)式的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是｜Ａ－λＥ｜＝０.（5.３）(5.3)式的左端为λ的n次多项式，因此A的特征值就是该多项式的根.记f(λ)=|Ａ-λＥ|，称为A的特征多项式，则矩阵A的特征值即为其特征多项式的根.方程(5.3)称为A的特征方程，特征方程在复数范围内恒有解.其个数为方程的次数(重根按重数计算)，因此n阶方阵A有n个特征值.设λ＝λi为其中的一个特征值，则由方程（Ａ－λiＥ）x＝0可求得非零解x＝pi，那么pi便是A的对应于特征值λi的特征向量(若λi为实数，则pi可取实向量，若λi为复数，则pi为复向量.)例5求3113A的特征值和特征向量.解A的特征方程为231(3)1(4)(2)0,13所以A的特征值为122,4.当12时，由1232101320xx可得x1＝x2，所以对应的特征向量可取为111p；当λ2＝４时，由1234101340xx即12110110xx解得x1＝－x2，所以对应的特征向量可取为21.1p显然，若pi是对应于特征值λi的特征向量，则kpi（k≠０）也是对应于λi的特征向量，所以特征向量不能由特征值惟一确定，反之，不同的特征值所对应的特征向量绝不会相等，也即一个特征向量只能属于一个特征值.7例6求矩阵110430102A的特征值和特征向量.解A的特征多项式为2110(2)(1),430102AE所以A的特征值为λ1＝2，λ2＝λ3＝１.当λ1＝2时，则方程（A－2E）x＝0，由3100102410100100000AE得基础解系10.01p所以kp1（k≠０）是对应于λ1＝2的全部特征向量.当λ2＝λ3＝1时，解方程（Ａ－E）x＝0，由210210100420101012101000000AE得基础解系21.21p所以kp2（k≠０）是对应于λ2＝λ3＝1的全部特征向量.从上述例子可以归纳出具体计算特征值、特征向量的步骤.第一步：计算特征多项式｜A－λE｜.第二步：求出｜A－λE｜＝0的全部根，它们就是A的全部特征值.第三步：对于A的每一个特征值λi，求相应的齐次线性方程组(Ａ－λiE)x＝0的一个基础解系12r,,,，则对于不全为零的任意常数12rk,k,,k，1122rrkkk8即为对应于λｉ的全部特征向量.例7求矩阵460350361A的特征值和特征向量.解A的特征多项式为2460(1)(2).350361AE所以A的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝－2.当λ1＝λ2＝1时，解方程（A－E）x＝0，由41601203510000360000AE得基础解系1220.1001p,p于是22112212(0)kkkkpp为对应于λ1＝λ2＝1的全部特征向量.当λ3＝－2时，解方程（Ａ＋2E）x＝0，由426011023520011363000AE得基础解系31.11p所以k3p3（k3≠０）为对应于λ3＝－2的全部特征向量.例8设λ是方阵A的特征值，证明λ2是A2的特征值.证因λ是A的特征值，故有p≠０，使Ａp＝λp，于是A2p＝A（Ap）＝λAp＝λ2p.所以λ2是A2的特征值.按此例类推，不难证明：若λ是A的特征值，则λk是Ａk的特征值；()是()A的特征值(其中0101(),()mmmmaaaaaaAEA).9例9设向量1=(1,2,0)′,2=(1,0,1)′都是方阵A的属于特征值λ=2的特征向量，又向量=(-1,2,-2)′，求.解由题设条件有2(1,2)iii又122故12121212(2)222(2)2(2)2(2,4,4)定理3设λ1，λ