第二课时两个计数原理的应用

第二课时两个计数原理的应用自主学习应用分类加法计数原理与分步乘法计数原理解决一些简单问题.课标导学分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题．其区别在于：分类加法计数原理针对的是________问题，其中各种方法________，用其中任何一种方法都可以做完这件事．分步乘法计数原理针对的是________问题，各个步骤中的方法________，只有各个步骤都完成之后才算做完这件事．教材导读分类相互独立分步互相依存对具体问题，按分类还是分步求解的依据是什么？提示：分类与分步的依据在于能否“一次性”完成，若能一次性完成，则不需分步；若不能，则需要分步处理．1.集合{a，b，c}的非空真子集的个数是()A．5B．6C．7D．8基础自测解析：分两类，含有1个元素的真子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的真子集为{a，b}，{a，c}，{b，c}．共有真子集个数为3＋3＝6.答案：B2．已知集合A＝{1,2,3}，集合B＝{4,5,6}，映射f：A→B，且满足1的象是4，则这样的映射有()A．2个B．4个C．8个D．9个解析：因为1→4，则由映射定义知2和3各有3种对应方式．由分步乘法计数原理得N＝3×3＝9.答案：D3．如下图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示这段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为()A．26B．24C．20D．19解析：按上面的路线最多可通过3＋4＝7(种)信息，按下面的路线最大可通过6＋6＝12(种)信息，所以最大信息量为7＋12＝19.答案：D4．某团支部进行换届选举，从甲、乙、丙、丁四人中选出三人分别担任书记、副书记、组织委员．规定上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职方法有()A．10B．11C．12D．13解析：不含丁，有2种，含丁的，则丁从三个职务中选一种，另两种职务从甲、乙、丙三人中选取有2＋1＝3(种)．故共有2＋3×3＝11(种)．答案：B5．现要排一份5天的值班表，每天有1个人值班，共有5个人，每个人可以值3天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？解：先排第一天，可排5人中的任一个人，有5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，仍有4种排法；同理，第四、五两天均各有4种排法，由分步乘法计数原理可得值班表共有不同的排法数为5×4×4×4×4＝1280(种)．合作学习1.对于有些分类加法计数原理的应用问题，题目本身就已经明确地分成了几类，解决这类问题的关键是认真审题，明确问题中的分类标准，以及每一类中含有哪些元素即可．对于有些分类加法计数原理的应用问题，题目中并没有明确地进行分类，需要我们借助分类手段来分析、解决问题，在解这类需要我们自己来分类的问题时，一是要准确、透彻地理解题意；二是分类时，必须确定一个分类标准，而分类标准的选择，则需要在仔细分析题意的基础上来确定．思维聚焦2．对于有些分步乘法计数原理的应用问题，题目本身就已经暗示如何进行分步，解决这类问题只要认真审题，明确问题中是如何分步的即可．对于有些分步乘法计数原理的应用问题，需要我们自己确定一个分步的步骤，然后依照步骤进行操作即可．3．(1)对于有些计数问题的解决，对它们既需要进行“分类”，又需要进行“分步”，那么此时就要注意综合运用两个原理来解决问题．解决这类问题，首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次，在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序．(2)对于有些计数问题，我们既可以用分类加法计数原理解决问题，也可以用分步乘法计数原理来解决问题，此时，则要注意权衡用哪种方法解决问题较为简单.两个计数原理的简单应用例1某座山，从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，其余无道路通向山顶．(1)某游人从一侧上山，另一侧下山，共有多少种不同的走法？(2)某游人任意选择上山与下山的道路，共有多少种不同的走法？思维激活[解](1)分两类：从东侧上，西侧下有3×2＝6(条)，从西侧上，东侧下有2×3＝6(条)，∴共有6＋6＝12(条)．(2)解法一：完成从上山到下山这件事可分为四类：①从东侧上山，且从东侧下山，走法有3×3种；②从东侧上山，从西侧下山，走法有3×2种；③从西侧上山，从东侧下山，走法有2×3种；④从西侧上山，且从西侧下山，走法有2×2种．据分类计数原理知，符合条件的走法共有3×3＋3×2＋2×3＋2×2＝25(种)．解法二：上山共有5条道路，下山也有5条道路，由分步计数原理得从上山到下山共有5×5＝25种不同的走法．[评析]显然，能不分类就可以直接解决问题时更简便．练1如下图所示的5×3个方格中有多少个矩形？[解]如果直接数图中矩形的个数，则有可能重复或遗漏，而以面积大小作为分类标准就能做到不重不漏.(1)面积为1的矩形有15个．(2)面积为2的矩形有两类：一是横向的，有4×3＝12个；二是竖向的，有2×5＝10个，故共有12＋10＝22个．(3)面积为3的矩形有3×3＋5＝14个．(4)面积为4的矩形有：横向的有2×3＝6个；竖向的有2×4＝8个，共有6＋8＝14个．(5)面积为5的矩形有3个．(6)面积为6的矩形有3×2＋4＝10个．(7)面积为8的矩形有2×2＝4个．(8)面积为9的矩形有3个．(9)面积为10的矩形有2个．(10)面积为12的矩形有2个．(11)面积为15的矩形有1个．故共有矩形15＋22＋14＋14＋3＋10＋4＋3＋2＋2＋1＝90个.有公共元素的选出问题例2在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？[分析]本题可以以2名既会下象棋又会下围棋的学生进行分类求解．[解]分四类求解：(1)从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6(种)选法．(2)从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6(种)选法．(3)从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有2×2＝4(种)选法．(4)从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，剩下的一名参加围棋比赛，有2×1＝2(种)选法．根据分类加法计数原理一共有6＋6＋4＋2＝18(种)不同的选法．[评析]分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．练2某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？[解]“完成一件事”指“从9人中选出会英语与日语的各1人”，故需分三类：①会英日语的不当选；②会英日语的按会英语当选；③会英日语的按会日语当选．既会英语又会日语的有7＋3－9＝1人，仅会英语的有6人，仅会日语的有2人．先分类后分步．先从仅会英、日语的人中各选1人有6×2(种)选法；从仅会英语与英日语都会的人中各选1人有6×1(种)选法；从仅会日语与英日语都会的人中各选1人有2×1(种)选法．根据分类加法计数原理共有6×2＋6×1＋2×1＝20种不同选法.涂色问题例3将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？[分析]解答本题可先给各个区域标上记号，从不相邻区域是否着相同颜色进行分类、分步解决．[解]给出区域标记号A、B、C、D、E(如图所示)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂色的颜色：如果B与D颜色相同，D区域有1种，E区域有2种涂色方法；如果B与D颜色不相同，则D区域有1种，E区域有1种．因此应先分类后分步．当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48(种)；当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种)．故共有48＋24＝72(种)不同的涂色方法．[评析]像这类区域涂色的问题，我们应该给出区域的序号，以便分析问题．在给各区域涂色时，要注意不同的涂色顺序导致解题有繁简之分．因此在分析解决这类问题时，应按不同的涂色顺序多多尝试，看哪一种最简单．另外本例易错的是未考虑B与D是否同色．练3用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．(1)共有多少种不同的涂色方法？(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么有多少种不同的涂色方法？[解](1)每一个区域都有5种不同的涂色方法，所以涂完4个区域共有5×5×5×5＝625(种)不同的涂色方法．(2)方法一：若2号、4号区域同色，有5×4×3＝60(种)涂法；若2号、4号区域异色，有5×4×3×2＝120(种)涂法．所以共有60＋120＝180(种)涂法．方法二：先涂1号区域，有5种涂法；再涂3号区域，有4种涂法；2号、4号区域各有3种涂法，故共有5×4×3×3＝180(种)涂法.“mn”和“nm”型问题例4(1)5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？(2)若5名学生争夺3项比赛冠军(每一名学生参赛项目不限)，则冠军获得者有几种不同情况(没有并列冠军)?[分析]本题关键在于搞清楚要以谁为主来研究问题．(1)中完成的事件是5名学生从3项体育项目中选择一项参赛，应以“学生”为主，即每名学生都有3种选择(即他可以选择3项体育项目中的任何1项)；(2)中完成的事件是5名学生争夺3项比赛冠军，这里，每名学生能获几项比赛冠军不确定，但这每一项比赛的冠军都可以由5个运动员中的1人获得，故应以“冠军”为主，即“冠军”作为位置，由5名运动员去占3个位置．[解](1)每名学生都可从3项体育项目中选1项，有3种选法，故5名学生的参赛方法有35种；(2)每个冠军皆有可能被5名学生中任1人获得，3个冠军依次被获得的不同情况有53种．[评析]解决这类问题，切忌死记公式“mn”或“nm”，而应弄清楚哪类元素必须用完，就以它为主进行分析，再用分步计数原理来求解．练4有4位同学参加3项不同的竞赛．(1)每位同学必须参加且只参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只允许一位同学且必须有一位同学参加，有多少种不同结果？[解](1)每位同学参加一项竞赛有3种选法，4位同学共有34＝81(种)不同结果．(2)每项竞赛只允许一位同学且必须有一位同学参加，有4种选法，3项竞赛共有43＝64(种)不同结果．课时测一、选择题1．解下列各题时，需要用分类加法计数原理的是()A．M和N都是有限集合，求M∪N元素的个数B．有4个组，人数分别为12,12,10,10，从中选1人参加作文比赛，求不同的选法C．有4个组，人数分别为12,12,10,10，每小组选派1人参加座谈会，求不同的选法D．已知x∈{1,2,3}，y∈{2,3,4}，计算M(x，y)能表示多少个不同的点解析：A选项需要考虑M、N中相同元素，不能用分类加法计数原理．B选项可分为四类：①从第一组中选；②从第二组中选；③从第三组中选；④从第四组中选．所以，是用分类加法计数原理．C选项分四步完成，用分步乘法计数原理．D选项分两步完成，用分步乘法计数原理．答案：B2．已知直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,2,3,5,7这六个数字中每次取两个不同的数作为A、B的值，则表示不同直线的条数是()A．2B．12C．22D．25解析：若A或B中有一个为零时，有2条，AB≠0时，有5×4＝20条，则由分类加法计数原理得共有2