分离参数法在恒成立问题中的应用

分离参数法在恒成立问题中的应用孟建军分离参数法就是把变元和参数通过等价变形分别写在等式或者不等式的两侧，进而只需研究不含参数的一个函数就可以解决问题，因为这样避免了令人头疼的分类讨论，所以这种方法十分受欢迎，今天，我们就简单介绍一下这种方法的使用。例：不等式2210axx在[1,2]x时恒成立，求实数a的取值范围.讨论的解法会设函数2()21fxaxx，进而求解函数在[1,2]x时的最小值或值域，再利用其最小值大于零来求解参数取值范围。但是由于本题的函数是否二次、是二次时的开口方向、对称轴位置都需要讨论，因此讨论的解法会十分麻烦。不过我们用分离的办法处理，就显得十分简单。【解析】因为[1,2]x，故不等式可化为222212121xaxxaxxx，故此只需a大于右侧函数在[1,2]x时的最大值即可，即成功转化成为一个不含参数的函数的值域问题。我们设1tx，则由[1,2]x可知1[,1]2t，设212([,1])2uttt，容易解得3[,1]4u，故当1a时不等式2210axx在[1,2]x时恒成立。从上面的例子可以看到，分离参数法避免了讨论，的确拥有强大的优势。但分离是否都这么简单就能处理问题呢？当然不是，请看下面的例子。变式1：不等式2210axx在[0,2]x时恒成立，求实数a的取值范围.细心的同学能发现变式和例题相比，只有x的范围发生了变化，但在这个小小的变化下，我们是不是还能象刚才一样直接变形呢？答案是否定的，因为如果0x的话，根本不能把2x除到右侧去。所以，我们还是要适当的加入讨论。【解析】当0x时，不等式化为10，显然对任意实数a都能成立。（这代表着0x不需对实数a进行限制，那么我们就只需让(0,2]x不等式恒成立即可。）当(0,2]x时，不等式仍可化为222212121xaxxaxxx，故此只需a大于右侧函数在(0,2]x时的最大值即可，我们继续设1tx，则由(0,2]x可知1[,)2t，设212([,))2uttt，容易解得(,1]u，最大值与上题相比没有变换，故当1a时不等式2210axx在(0,2]x时恒成立。“综上”时，我们注意0x时没有限制，所以只需考虑(0,2]x不等式恒成立即可，因此作答为“1a时不等式2210axx在[0,2]x时恒成立”。当然，如果在计算时发现0x时对a也有限制，综上时0x时和(0,2]x时的参数范围的交集才是最终结果。有的同学说，这只是加个0x时的讨论罢了，没什么，好吧，我们再来进行一次变式。变式2：不等式2210xax在[2,2]x时恒成立，求实数a的取值范围.我们发现这次要进行参变分离的话，除掉的不再是2x，而是x，所以我们不止要讨论0x时的情况，还需要注意[2,0)x时变形后的不等号方向是要改变的，也就是说我们需要分成三种情况分析。这时，我们是不是应该果断的放弃分离参数法呢？答案是，还是试试看再说吧，没有实践就没有发言权。【解析】当0x时，不等式化为10，显然对任意实数a都能成立。当[2,0)x时，不等式可化为221axx，注意再变形时要变号，即化为12axx，设1([2,0))uxxx，我们知道这是个对勾函数，对勾函数我们就不再介绍了，通过对其单调性的分析或者图像，我们可求得(,2]u，所以此时需221aa即.当(0,2]x时，不等式可化为221axx，此时变形不变号，即化为12axx，设1((0,2])uxxx，注意到了吗，这个函数与[2,0)x时的函数是一模一样的，我们可求得[2,)u，所以此时需1a.综上时，三者都需成立，要求三个结果的交集，所以“综上，当11a时，不等式2210xax在[2,2]x时恒成立”。所以，我们看到就算分离参数法有时也不能避免讨论，但是至少你需要研究的不含参的函数是不变的，所以还是具有很大的优越性的。到此，我们对运用分离参数法解恒成立问题进行了简单的剖析，希望同学们能多少了解到一些这种方法的思想和优点，并能进行简单的运用。当然，我们的例子和变式形式都很简单，也只是涉及到二次的结构，将来在我们学习更多知识后，我们会在各式各样的恒成立问题中大量使用这种方法。路漫漫其修远，让我们一起上下求索吧！