高中物理竞赛经典方法 5极限法

高中物理竞赛经典方法大全极限法第1页（共14页）五、极限法方法简介极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。赛题精讲例1：如图5—1所示，一个质量为m的小球位于一质量可忽略的直立弹簧上方h高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k，则物块可能获得的最大动能为。解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，小球所受合力为零的位置速度、动能最大。所以速最大时有mg=kx①由机械能守恒有：mg(h+x)=Ek+12kx2②联立①②式解得：Ek=mgh－22mg2k例2：如图5—2所示，倾角为α的斜面上方有一点O，在O点放一至斜面的光滑直轨道，要求一质点从O点沿直轨道到达斜面P点的时间最短。求该直轨道与竖直方向的夹角β。解析：质点沿OP做匀加速直线运动，运动的时间t应该与β角有关，求时间t对于β角的函数的极值即可。由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为：a=gcosβ该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t，则：12at2=OP所以：t=2OPgcos①由图可知，在ΔOPC中有：图5—1图5—2高中物理竞赛经典方法大全极限法第2页（共14页）oOPsin(90)=oOCsin(90)所以：OP=OCcoscos()②将②式代入①式得：t=2OCcosgcoscos()=4OCcoscoscos(2)g显然，当cos(α－2β)=1，即β=2时，上式有最小值。所以当β=2时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。此题也可以用作图法求解。例3：从底角为θ的斜面顶端，以初速度v0水平抛出一小球，不计空气阻力，若斜面足够长，如图5—3所示，则小球抛出后，离开斜面的最大距离H为多少？解析：当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则由：vy=v0tanθ=gt，解得运动时间为t=0vgtanθ该点的坐标为：x=v0t=20vgtanθ，y=12gt2=20v2gtan2θ由几何关系得：Hcos+y=xtanθ解得小球离开斜面的最大距离为：H=20v2gtanθsinθ这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解则更加简便。例4：如图5—4所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m的墙外，从喷口算起，墙高为4.0m。若不计空气阻力，取g=10m/s2，求所需的最小初速及对应的发射仰角。图5—高中物理竞赛经典方法大全极限法第3页（共14页）解析：水流做斜上抛运动，以喷口O为原点建立如图所示的直角坐标，本题的任务就是水流能通过点A（d、h）的最小初速度和发射仰角。根据平抛运动的规律，水流的运动方程为：020xvcost1yvsintgt2把A点坐标（d、h）代入以上两式，消去t，得：20v=－22gd2(hdtan)cos=2gddsin2h(cos21)=2222222gddhdhsin2cos2hdhdh令hd=tanθ，则22ddh=cosθ，22hdh=sinθ，上式可变为：20v=222gddhsin(2)h显然，当sin(2α－θ)=1时，即2α－θ=90°，亦即发射角α=45°+2=45°+12arctanhd=45°+arctan43=71.6°时，v0最小，且最小速度为：v0=22g(dhh)=310=9.5m/s例5：如图5—5所示，一质量为m的人，从长为l、质量为M的铁板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端骤然停止。铁板和水平面间摩擦因数为μ，人和铁板间摩擦因数为μ′，且μ′μ。这样，人能使铁板朝其跑动方向移动的最大距离L是多少？解析：人骤然停止奔跑后，其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量，此后，地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f，其加速度a1=fMm=(Mm)gMm=μg。由于铁板移动的距离L=21v2a，故v′越大，L越大。v′是人与铁板一起开始地运动的速度，因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。人在铁板上奔跑但铁板没有移动时，人若达到最大加速度，则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦μ(M+m)g，根据系统的牛顿第二定律图5—4图5—5高中物理竞赛经典方法大全极限法第4页（共14页）得：F=ma2+M0所以：a2=Fm=μMmmg①设v、v′分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度：因为：mv=(M+m)v′②且：v2=2a2l，2v=2a1L并将a1、a2代入②式解得铁板移动的最大距离：L=mMml例6：设地球的质量为M，人造卫星的质量为m，地球的半径为R0，人造卫星环绕地球做圆周运动的半径为r。试证明：从地面上将卫星发射至运行轨道，发射速度v=00RgR(2)r，并用该式求出这个发射速度的最小值和最大值。（取R0=6.4×106m），设大气层对卫星的阻力忽略不计，地面的重力加速度为g）解析：由能量守恒定律，卫星在地球的引力场中运动时总机械能为一常量。设卫星从地面发射的速度为v发，卫星发射时具有的机械能为：E1=12m2v发－G0MmR①进入轨道后卫星的机械能为：E2=12m2v轨－GMmr②由E1=E2，并代入v轨=GMr，解得发射速度为：v发=00RGM(2)Rr③又因为在地面上万有引力等于重力，即：G20MmR=mg，所以：0GMR=gR0④把④式代入③式即得：v发=00RgR(2)r（1）如果r=R0，即当卫星贴近地球表面做匀速圆周运动时，所需发射速度最小为：vmin=0gR=7.9×103m/s。高中物理竞赛经典方法大全极限法第5页（共14页）（2）如果r→∞，所需发射速度最大（称为第二宇宙速度或脱离速度）为：vmax=02gR=11.2×103m/s。例7：如图5—6所示，半径为R的匀质半球体，其重心在球心O点正下方C点处，OC=38R，半球重为G，半球放在水平面上，在半球的平面上放一重为G8的物体，它与半球平在间的动摩擦因数μ=0.2，求无滑动时物体离球心O点最大距离是多少？解析：物体离O点放得越远，根据力矩的平衡，半球体转过的角度θ越大，但物体在球体斜面上保持相对静止时，θ有限度。设物体距球心为x时恰好无滑动，对整体以半球体和地面接触点为轴，根据平衡条件有：G3R8sinθ=G8xcosθ，得到：x=3Rtanθ可见，x随θ增大而增大。临界情况对应物体所受摩擦力为最大静摩擦力，则：tanθm=mfN=μ=0.2，所以x=3μR=0.6R。例8：有一质量为m=50kg的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数μ=0.3，杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角θ=30°，如图5—7所示。（1）若以水平力F作用在杆上，作用点到地面的距离h1=25L（L为杆长），要使杆不滑倒，力F最大不能越过多少？（2）若将作用点移到h2=45L处时，情况又如何？解析：杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小还与h有关，讨论力与h的关系是关键。杆的受力如图5—7—甲所示，由平衡条件得：F－Tsinθ－f=0N－Tcosθ－mg=0F(L－h)－fL=0另由上式可知，F增大时，f相应也增大，故当f增图5—6图5—7图5—7—甲高中物理竞赛经典方法大全极限法第6页（共14页）大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足：f=μN解得：Fmax=mgLtantan(Lh)h由上式又可知，当［tan(L－h)－h］→∞，即当h0=0.66L时，对F就没有限制了。（1）当h1=25L＜h0，将有关数据代入Fmax的表达式得：Fmax=385N（2）当h2=45L＞h0，无论F为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。例9：放在光滑水平面上的木板质量为M，如图5—8所示，板上有质量为m的小狗以与木板成θ角的初速度v0（相对于地面）由A点跳到B点，已知AB间距离为s。求初速度的最小值。解析：小狗跳起后，做斜上抛运动，水平位移向右，由于水平方向动量守恒，木板向左运动。小狗落到板上的B点时，小狗和木板对地位移的大小之和，是小狗对木板的水平位移。由于水平方向动量守恒，有：mv0cosθ=Mv，即：v=0mvsinM①小狗在空中做斜抛运动的时间为：t=02vsing②又：s+v0cosθt=vt③将①、②代入③式得：v0=Mgs(Mm)sin2当sin2θ=1，即θ=4时，v0有最小值，且v0min=MgsMm。例10：一小物块以速度v0=10m/s沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出，如图5—9所示。当高台的高度h多大时，小物块飞行的水平距离s最大？这个距离是多少？（g取10m/s2）图5—8高中物理竞赛经典方法大全极限法第7页（共14页）解析：依题意，小物块经历两个过程。在脱离曲面顶部之前，小物块受重力和支持力，由于支持力不做功，物块的机械能守恒，物块从高台上飞出后，做平抛运动，其水平距离s是高度h的函数。设小物块刚脱离曲面顶部的速度为v，根据机械能守恒定律：12m20v=12mv2+mgh①小物块做平抛运动的水平距离s和高度h分别为：s=vt②h=12gt2③以上三式联立解得：s=202hv2ghg=2222200vv()(h)4g4g当h=20v4g=2.5m时，s有最大值，且smax=20v2g=5m。例11：军训中，战士距墙s，以速度v0起跳，如图5—10所示，再用脚蹬墙面一次，使身体变为竖直向上的运动以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦因数为μ。求能使人体重心有最大总升高的起跳角θ。解析：人体重心最大总升高分为两部分，一部分是人做斜上抛运动上升的高度，另一部分是人蹬墙所能上升的高度。如图5—10—甲，人做斜抛运动，有：vx=v0cosθ，vy=v0sinθ－gt重心升高为：H1=s0tanθ－12g(0svcos)2脚蹬墙面，利用最大静摩擦力的冲量可使人向上的动量增加，即：Δ(mvy)=mΔvy=Σf(t)=ΣμN(t)Δt=μΣN(t)Δt而：ΣN(t)Δt=mvx所以：Δvy=μvx，人蹬墙后，其重心在竖直方向向上的速度为：yv=vy+Δvy=vy+μvx，继续升高H2=2yv2g重心总升高：H=H1+H2=20v2g(μcosθ+sinθ)2－μs0图5—9图5—10图5—10—甲高中物理竞赛经典方法大全极限法第8页（共14页）当θ=arctan1时，重心升高最大。例12：如图5—11所示，一质量为M的平顶小车，以速度v0沿水平的光滑轨道做匀速直线运动。现将一质量为m的小物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的滑动摩擦因数为μ。（1）若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？（2）若车顶长度符合（1）问中的要求，整个过程中摩擦力共做多少功？解析：当两物体具有共同速度时，相对位移最大，这个相对位移的大小即为车顶的最小长度。设车长至少为l，则根据动量守恒：Mv0=(M+m)v根据功能关系：μmgl=12M20v－12(M+m)v2解得：l=20Mv2(Mm)g摩擦力共做功：W=－μmgl=－20Mmv2(Mm)例13：一质量m=200kg，高2.00m的薄底大金属桶倒扣在宽广的水池底部，如图5—12所示。桶的内横截面积S=0.500m2，桶壁加桶底的体积为V0=2.50×10－2m3。桶内封有高度为l=0.200m的空气。池深H0=20.0m，大气压强p0=10.00m水柱高，水的密度ρ=1.000×103kg/m3，重力加速度取g=10.00m/s2。若用图中所示吊绳将桶上提，使桶底到达水面处，求绳子拉力对桶所需何等的最