脊波导的几种计算方法

论述脊型光波导的分析方法及其模场分布的计算摘要：本文主要介绍了如何通过有效折射率法计算脊型光波导的模场分布以及如何通过有限元法来数值求解脊波导的模场分布其次我们介绍了脊波导的工作特性和制作方法，最后我们列举了脊波导在激光器，调制器等信息光电子器件中的应用。关键词：脊波导有效折射率模场分布有限元法1引言：脊波导与相同尺寸的矩形波导比较主要优点是:主模H10波的截止波长较长,对于相同的工作波长,波导尺寸可以缩小;H10模和其它高次模截止波长相隔较远,因此单模工作频带较宽,可以达到数个倍频程;等效阻抗较低,因此易与低阻抗的同轴线及微带线匹配。但脊波导承受功率比同尺寸的矩形波导低。脊形波导在集成光学中有广泛的应用,它是薄膜激光器、藕合器、调制器、开关等许多光电器件的基础。由于脊形波导边界复杂,精确地分析其光学特性十分困难,若考虑介质的吸收作用,则难度就更大。其次要能够设计出性能优良的光波导，那么必须首先能够在理论上对光波导进行计算。对于脊型光波导而言由于其结构复杂没有严格的解析解,应采用数值方法或近似法进行分析。光波导分析方法常用的有:转移矩阵法、模耦合理论、有效折射率法、有限元法、时域有限差分法和束传播法等。在本文中采用的计算方法是有效折射率法对脊型光波导进行分析计算，还介绍了一种利用有限元差分算法对脊波导的模式进行数值计算。最后介绍了脊型光波导在信息光电子学中的应用。2脊型光波导的理论模型分析2.1脊波导的有效折射率法脊波导的横截面如图一所示，图中,n1,n2,n3分别为芯区，下包层和上包层的折射率，a为脊宽，h为脊高，b为脊下的芯厚度，则b-h为脊两边的芯厚度，此时光功率主要限制在脊下波导的芯中传播。有效折射率法是把这种波导等效为x方向厚度为a的对称三层平板波导，如图二所示。在脊波导中主要存在两种形式的模，模和𝐸𝑚𝑛𝑦模，前者以𝐸𝑥和𝐻𝑦为主，同时𝐻𝑥为0，后者以𝐸𝑦和𝐻𝑥为主，同时𝐻𝑦为0。我们以𝐸𝑚𝑛𝑥导模为例来说明这一等效平板波导的折射率分布是如何确定的。图一：横截面图图二：对称三层等效平板波导（1）首先把脊宽a在±x方向上延长为无限大，形成一个在y方向折射率分布为n2,n1,n3，芯厚度为b的非对称三层平板波导。𝐸𝑚𝑛𝑥电场主要沿着x方向偏振，这一偏振放想对于该平板波导而言相当于TE偏振，因此该平板波导的有效折射率可以通过下述的非对称三层平板波导的TE导模特征方程求出，𝑘0(𝑛12−𝑁12)1/2𝑏=𝑛𝜋+𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛（𝑁12−𝑛22）1/2(𝑛12−𝑁12)1/2+𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛（𝑁12−𝑛32）1/2(𝑛12−𝑁12)1/2(𝑛=0,1,2,3…)2.1我们把N1作为x方向等效平板波导芯层的折射率。（2）然后把脊高h缩为0（相当于把脊去掉），形成一个在y方向折射率分布为n2,n1,n3，芯厚度为b-h的非对称三层平板波导。𝐸𝑚𝑛𝑥导模的电场主要沿x方向偏振，这一偏振方向对于该平板波导而言也相当于TE偏振，因此该平板波导的有效折射率可以由下述的非对称平板波导的TE导模的特征方程求出，𝑘0(𝑛12−𝑁12)12（𝑏−ℎ）=𝑛𝜋+𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛（𝑁22−𝑛22）1/2(𝑛12−𝑁22)1/2+𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛（𝑁22−𝑛32）1/2(𝑛12−𝑁22)1/2(𝑛=0,1,2,3…)2.2注意方程2.1和2.2中的模的阶数n取值必须相同我们把N2作为x方向等效平板波导芯层两侧包层的折射率，于是得到了三层平板波导x方向的折射率分布N2，N1，N2.（3）𝐸𝑚𝑛𝑥导模的电场主要沿x方向偏振，这一偏振方向对于x方向的等效平板波导而言相当于TM偏振，因此该等效平板波导的有效折射率可以有下述的对称三层平板波导的TM导模的特征方程求出，𝑘0(𝑁12−𝑁2)1/2𝑎=𝑚𝜋+2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑁12（𝑁2−𝑁22）1/2𝑁22(𝑁12−𝑁2)1/2(𝑚=0,1,2,3…)2.3我们把N作为原脊型波导𝐸𝑚𝑛𝑥模的有效折射率。对于𝐸𝑚𝑛𝑦导模其电场主要沿y方向偏振方向，考虑到这一偏振方向，方程2.1-2.2应换成TM倒模的特征方程，而方程2.3应换成TE导模的特征方程，𝑘0(𝑛12−𝑁12)1/2𝑏=𝑛𝜋+𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑛12（𝑁12−𝑛22）1/2𝑛22(𝑛12−𝑁12)1/2+𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑛12（𝑁12−𝑛32）1/2𝑛32(𝑛12−𝑁12)1/2(𝑛=0,1,2,3…)2.4𝑘0(𝑛12−𝑁22)12(𝑏−ℎ)=𝑛𝜋+𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑛12（𝑁22−𝑛22）1/2𝑛22(𝑛12−𝑁22)1/2+𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑛12（𝑁22−𝑛32）1/2𝑛32(𝑛12−𝑁22)1/2(𝑛=0,1,2,3…)2.5𝑘0(𝑁12−𝑁2)1/2𝑎=𝑚𝜋+2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛（𝑁2−𝑁22）1/2(𝑁12−𝑁2)1/2(𝑚=0,1,2,3…)2.6这样就得到不同模式的等效折射率。2.2脊波导的有限差分法分析由于脊波导的结构较为复杂很难得到脊波导的解析解，而数值计算的方法往往能够得到脊波导的精确的模场分布，这里我们采用的方法为有限元法，用有限元法直接计算得到满足波动方程的本征值和本征太，从而来分析脊波导。下面我们以𝐸𝑚𝑛𝑥作为计算的例子，其满足波动方程：𝜕2𝐸𝑥𝜕𝑥2+𝜕2𝐸𝑥𝜕𝑦2+(𝑘02𝑛2−𝛽2)𝐸𝑥=02.7式2.7中，𝑘0=2𝜋𝜆为真空中的数，λ为真空中的波长，n为区域折射率。按照有限差分原理，电磁场分量在网格单元的分布情况为图三所示图三：二维𝐸𝑚𝑛𝑥波的有限差分网络应用二维有限差分法将方程2.7变换成二维有限差分格式。用符号E(i,j)=E(i•Δx,j•Δy)代表场分量E(x,y),其中,Δx和Δy分别为x和y方向的网格步长大小。i,j分别为x和y网格个数,采用五点差分格式,方程2.7可变为:𝐸𝑥(𝑖+1,𝑗)−2𝐸𝑥(𝑖,𝑗)+𝐸𝑥(𝑖−1,𝑗)∆𝑥2+𝐸𝑥(𝑖,𝑗+1)−2𝐸𝑥(𝑖,𝑗)+𝐸𝑥(𝑖,𝑗−1)∆𝑥2−𝑘02𝑛2𝐸𝑥(i,j)=𝛽2𝐸𝑥(i,j)2.8事实上,传播常数的平方和与之传播常数对应的场分布是式(2)的本征值和本征矢量,这样我们的问题是计算机编程求式2.8的本征值和本征矢量,从而得到该波导的传播常数和场分布。同时由于光场分布是无限的,所以要用有限的网格来模拟无限的光场,必定在计算中采用一定的近似,一般精确取决于计算范围的大小和步长的大小。计算结果作为例子我们计算了空气/GaAs/AlGaAs三层介质脊形波导,介质折射率参数为:𝑛1=1,n2=3.44,n3=3.4,λ0=1.15μm,脊宽a=3μm,b=1μm,计算区域8μm×8μm。取脊高h=0.5μm时,计算得到基模和高次一阶模的场分布如图四和图五所示,从图中可以看出波导的场分布的形状,基模模场的能量分布只有一个中心区域,能量集中在芯层中,在包层中能量衰减很快;而在一阶模模场的能量集中在芯层的两个中心区域。当增大脊高,减小芯厚(h=0.8μm,b-h=0.2μm),计算得到的基模场分布如图六所示.我们将图四和图六进行比较，可以看出:当脊高增大时，波导芯左右两侧对光场限制增大，但是有一部分能量进入包层，也就是说，模的损耗增大。可以得出下述结论:(1)在脊形波导中,脊高h对侧向光有限制作用,h越大,侧向光能更好地限制在芯内。(2)随着脊高h增加,模的损耗也增加。所以我们在设计脊形波导过程中,选择高h和芯厚b时应根据实际情况充分考虑,选择适当的数值。图四：脊形波导的基模光场分布,以场强度最大值依次递减10%的等高线分布图五：相应高次一阶模光场分布图六：脊高增大为h=0.8μm时基模光场分布本文采用有限差分法,求波动方程的本征值和本征矢量,得到脊形波导的基模和高阶模场分布情况,得到的场分布的形状与其他方法所得结果基本一致;同时我们分析了脊形波导中脊高与模式分布之间的关系,为实际设计脊形波导器件提供了理论基础。2.3有效折射率有限元法计算脊波导的模式前面我们介绍了对于脊波导的两种计算方法，一种是有效折射率法（EIM），但这种方法对于实际情况有时不够精确，另一类是采用精确的数值方法，如我们介绍的有限元法（FEM）。但是这个方法的处理较为麻烦而且计算量很大。这里介绍的任一界面和折射率分布光波导的模式特性的一种方法，为有效折射率有限元法（EI-FEM）。用IE-FEM分析介质光波导时,首先采用IEM,将描述二维光场限制光波导的标量波动方程,分解成两个互相联系的具体边界条件的一维波动方程,然后用FEM分别求解这两个一维波动方,从而求得整个介质光波导的解.这里我们我们利用有效折射率有限元法计算了半导体脊性光波导的模式传播常数和模式特性以及模式场分布及其变化规律。图一所示的脊形介质光波导中,横向电场Et满足矢量波动方程∇𝑡2𝐸𝑡+[𝑛2(𝑥,𝑦)𝑘02−𝛽2]𝐸𝑡=−∇𝑡（𝐸𝑡.∇𝑡ln𝑛2）2.8其中∇𝑡2为横向梯度算符,𝑘0=2𝜋𝜆⁄；λ为光波波长，n(x,y)为与坐标轴z无关的波导界面折射率分布。β为传播常数。方程2.8中−∇𝑡（𝐸𝑡.∇𝑡ln𝑛2）代表了场的矢量性质，对于均匀介质光波导它是由折射率的横向变化产生的。如果沿横向的折射率变化缓慢且差别很小，则可忽略场的矢量性质，而得到横向电磁场的标量波动方程。{𝜕2𝜕𝑥2+𝜕2𝜕𝑦2+(𝑘02𝑛2−𝛽2)}𝜑(x,y)=02.9式中𝜑(x,y)为横向电磁场沿坐标轴x或y的分量.当电场偏振沿x方向时,𝜑(x,y)代表TE偏振;当电场偏振沿y方向时,𝜑(x,y)代表TM偏振.根据有效折射率法,设场𝜑(x,y)满足𝜑(𝑥,𝑦)=𝜑𝑥(𝑥)𝜑𝑥𝑦(𝑥,𝑦)2.10并设𝜑𝑥𝑦(𝑥,𝑦)为对x变化缓慢的函数,定义有效折射率轮廓neff(x),则可将(2.10)式所述的二维标量波动方程分解成两个互相联系的一维波动方程,即{𝜕2𝜕𝑦2+[𝑛2(𝑥,𝑦)𝑘02−𝑛𝑒𝑓𝑓2(𝑥)𝑘02]}𝜑𝑥𝑦(𝑥,𝑦)=02.11a和{𝜕2𝜕𝑥2+[𝑛𝑒𝑓𝑓2(𝑥)𝑘02−𝛽2]}𝜑𝑥(𝑥)=02.11b方程(2.11a)和(2.11b)分别代表两种不同偏振态的平面波导的波动方程.在某节点𝑥=𝑥𝑖处,通过求解描述折射率分布为n(𝑥𝑖,x)的平面波导的波动方程(2.11a),可得到该平面波导的有效折射率(即𝑥𝑖节点处的等效折射率neff(𝑥𝑖).重复求解方程(2.11a)得沿x方向各节点处的等效折射率分布从neff(x).最后,把求得的neff(x)代入方程(2.11b)并求解,则得到图1所示的二维限制光波导的模式传播特性.根据有限元技术,由方程(2.11)可推得用El-FEM求解介质光波导模式传播特性的有限元方程[A][𝜑𝑥𝑦(𝑥𝑖,𝑦)]=𝑛𝑒𝑓𝑓2(𝑥𝑖)𝑘02[𝐵][𝜑𝑥𝑦(𝑥𝑖,𝑦)]2.12a[C][𝜑𝑥(𝑥)]=𝛽2[𝐷][𝜑𝑥(𝑥)]2.12b其中[A]、[B]、[c]和[D]为单元系数矩阵集总后所形成的实对称矩阵;〔𝜑𝑥𝑦〕和〔𝜑𝑥〕代表场域节点上的场函数.广义对称特征值问题(5)式可利用著名的“特征值系统程序包—EISPACK’求解。这样我们就通过有效折射率法和有限元法综合在一起的做法得到了另外一种计算方法。3脊波导在光信息技术中应用综述脊波导结构由于其性能优良，在很多光电子器件中都能够看脊型光波导的应用，现在较为成熟的