解三角形章节复习

章节复习(三课时）知识梳理[难点正本疑点清源]解三角形时，三角形解的个数的判断在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解题型一利用正、余弦定理求解三角形例1在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．思维启迪由cosBcosC＝－b2a＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解．解(1)由余弦定理知：cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.将上式代入cosBcosC＝－b2a＋c得：a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12.∵B为三角形的内角，∴B＝23π.(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝23π代入b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴13＝16－2ac1－12，∴ac＝3.∴S△ABC＝12acsinB＝334.题型二正、余弦定理的综合应用例2在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝π3，且△ABC的面积为3，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．解(1)∵c＝2，C＝π3，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得a2＋b2－ab＝4.又∵△ABC的面积为3，∴12absinC＝3，ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.(2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，即2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA·(sinA－sinB)＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，当cosA＝0时，∵0Aπ，∴A＝π2，△ABC为直角三角形；当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．2．(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC．(1)若a＝b，求cosB；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．[解](1)由题设及正弦定理可得b2＝2aC．又a＝b，可得b＝2c，a＝2C．由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝14.(2)由(1)知b2＝2aC．因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝2.所以△ABC的面积为12×2×2＝1.命题热点1三角变换与解三角形【例1】(2015·山西四校三模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若4sinAsinB－4cos2A－B2＝2－2.(1)求角C的大小；(2)已知asinBsinA＝4，△ABC的面积为8.求边长c的值．[尝试解答](1)由条件得4sinAsinB＝22cos2A－B2－1＋2，即4sinAsinB＝2cos(A－B)＋2＝2(cosAcosB＋sinAsinB)＋2，化简得cos(A＋B)＝－22，∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝3π4，又A＋B＋C＝π，∴C＝π4，(2)由已知及正弦定理得b＝4，又S△ABC＝8，C＝π4，∴12absinC＝8，得a＝42，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得c＝4.