向量法证明垂直

向量法证明垂直线线垂直、线面垂直、面面垂直垂直－－向量法证明balmal0)3(面面垂直：al线面垂直：)2(0)1(baml线线垂直：mn0,0namal题型一证明线线垂直【例1】已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝14CC1.求证：AB1⊥MN.解法一(基向量法)设AB→＝a，AC→＝b，AA1→＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，AB1→＝a＋c，AM→＝12(a＋b)，AN→＝b＋14c，MN→＝AN→－AM→＝－12a＋12b＋14c，∴AB1→·MN→＝(a＋c)·(－12a＋12b＋14c)＝－12＋12cos60°＋14＝0.∴AB1→⊥MN→，∴AB1⊥MN.法二(坐标法)设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A(－12，0，0)，B(12，0，0)，C(0，32，0)，N(0，32，14)，B1(12，0，1)，∵M为BC中点，∴M(14，34，0)．∴MN→＝(－14，34，14)，AB1→＝(1，0，1)，规律方法将线线垂直问题转化为向量垂直问题后，注意选择基向量法还是坐标法，熟练掌握证明线线垂直的向量方法是关键．∴MN→·AB1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN→⊥AB1→，∴AB1⊥MN.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.题型二证明线面垂直【例2】[思路探索]可证明A1O→与平面GBD内两个不共线向量垂直或建系后，证明A1O→与平面GBD的法向量平行．解法一设A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c.则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0.而A1O→＝A1A→＋AO→＝A1A→＋12(AB→＋AD→)＝c＋12(a＋b)，BD→＝AD→－AB→＝b－a，OG→＝OC→＋CG→＝12(AB→＋AD→)＋12CC1→＝12(a＋b)－12c，∴A1O→·BD→＝(c＋12a＋12b)·(b－a)＝c·(b－a)＋12(a＋b)·(b－a)＝c·b－c·a＋12(b2－a2)＝12(|b|2－|a|2)＝0.∴A1O→⊥BD→，∴Α1O⊥BD.同理可证，A1O→⊥OG→，∴A1O⊥OG.又∵OG∩BD＝O，且A1O⊄面GBD，∴A1O⊥面GBD.法二如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别作x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，A1(2，0，2)，G(0，2，1)，B(2，2，0)，D(0，0，0)，∴OA1→＝(1，－1，2)，OB→＝(1，1，0)，BG→＝(－2，0，1)，而OA1→·OB→＝1－1＋0＝0，OA1→·BG→＝－2＋0＋2＝0.∴OA1→⊥OB→，OA1→⊥BG→，即OA1→⊥OB→，OA1⊥BG，而OB∩BG＝B，且A1O⊄面GBD，∴OA1⊥面GBD.法三同方法二建系后，设面GBD的一个法向量为n＝(x，y，z)则BG→·n＝0，BD→·n＝0，∴－2x＋z＝0，－2x－2y＝0，令x＝1得z＝2，y＝－1，∴平面GBD的一个法向量为(1，－1，2)，显然A1O→＝(－1，1，－2)＝－n，∴A1O→∥n，∴A1O⊥面GBD.在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.题型三证明面面垂直【例3】∵∠BCD＝90°，∴CD⊥BC.又AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，[规范解答]建系如图，取A(0，0，a)，则易得B(0，0，0)，C(32a，32a，0)，D(0，3a，0)，E(34a，34a，a2)，F(0，32a，a2)，2分∴CD→＝(－32a，32a，0)为平面ABC的一个法向量4分设平面BEF的法向量n＝(x，y，z)，∴n·EF→＝0，即(x，y，z)·(－34a，34a，0)＝0，∴x＝y.由n·BF→＝0，即(x，y，z)·(0，32a，a2)＝0，有32ay＋a2z＝0⇒z＝－3y.取y＝1，得n＝(1，1，－3).8分∵n·CD→＝(1，1，－3)·(－32a，32a，0)＝010分∴n⊥CD→，∴平面BEF⊥平面ABC.12分在正棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC；【变式3】证明如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则A(3，0，0)、B(0，3，0)、C(0，0，3)、E(0，2，1)、F(0，1，0)、G(1，1，0)，P(0，0，0)．于是PA→＝(3，0，0)，FG→＝(1，0，0)，故PA→＝3FG→，∴PA∥FG.而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC，又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，在棱DD1上是否存在点P，使MD⊥平面PAC?误区警示审题不清致误【示例】[错解]如图建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，M(1，1，12)，假设存在P(0，0，x)满足条件，则PA→＝(1，0，－x)，AC→＝(－1，1，0)．解题时一定要看清题目条件是在“棱”DD1上探求一点，而不是在其延长线上．设平面PAC的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则由PA→·n＝0，AC→·n＝0，得x1－xz1＝0，－x1＋y1＝0.令x1＝1得y1＝1，z1＝1x，即n＝(1，1，1x)，由题意MD→∥n，由MD→＝(－1，－1，－12)得x＝2，∴存在点P(0，0，2)满足条件．[正解]由以上步骤得x＝2，∵0≤x1，∴不存在点P，使MD⊥平面PAC.解答数学题，必须根据题目的特征和给出的信息或启示，充分运用条件，达到尽可能满足结论需要的要求．为此，通过审题全面掌握题意就成了解题的基础．审题时必须要认真仔细，注意隐含条件的挖掘，谨防出错．