2016年广西“创新杯”高一决赛试题答案及评分标准

第1页共7页2016年广西“创新杯”数学竞赛高一决赛试卷考试时间：2016年10月23日(星期日)8:30--11:00答案及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分,请将答案的序号填写在第二页答题区选择题相应题号后面的括号内）1、设函数()321fxxxx=++−+−，则()fx的最小值是（）.A.5B.4C.3D.2解析：选A.由绝对值的几何意义知当1x=时()fx取到最小值.故选A（陈敦元老师供题）2、设方程0222=−−xx的一个较小根为1x，下面对1x的估计正确的是().A．121−−xB．011−xC．101xD．211x解析:选B.提示：直接求根并估计；或者设2()22fxxx=−−，并判断各区间端点的函数值符号.（命题组供题）3、化简))(())(())(())(())(())((bcacbxaxabcbaxcxcabacxbx−−+++−−+++−−++得()．A.0B.1C.2D.3解析:选B.设所给式子为)(xf，则有1)()()(=−=−=−cfbfaf，而cba,,互不相等，于是方程()10fx−=有三个不等根.但()fx是关于x的二次多项式，所以()10fx−≡，即1)(≡xf．或常规化简也可得．（唐光明老师供题）4、如图，AB为⊙O的直径，E、F为AB的三等分点，M、N为
AB上两点，且60MEBNFB∠=∠=
,33EMFN+=，则直径AB的长为（）.A．6B.211C.11D.8解析：选A.第2页共7页设⊙O半径为r.延长ME交⊙O于点N′，则由圆的对称性，33MN′=.易知点O为EF的中点，所以1163OEABr==.作OHME⊥于H，则3sin606OHOEr=⋅=
，由222333()()62rr=+，解得3r=，所以AB=6.（命题组供题）5、如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=−−=−2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，“和谐数”共有（）个.A．8B．9C．10D．11解析:选C.[]3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)kkkkkkkk+−−=+−−+++−+−22(121)k=+（其中k为非负整数），由22(121)2016k+≤得，9k≤.0,1,2,,8,9k∴=⋯，共有10个.（赵英明老师供题）6、满足1112016xy+=的正整数解(,)xy的组数为（）．A．98B．115C．142D．165解析：选D.由条件得21042(2016)(2016)2016237xy−−==⋅⋅，而1042237⋅⋅有(101)(41)(21)165+++=个正因子，对于每个正因子d，由2016xd−=可以得到一个x的值，而当x确定后，y的值也随之确定，故共有165组解.（命题组供题）二、填空题（每小题9分，共54分，请将答案填写在第二页答题区填空题相应题号后面的横线上）7、方程0)3()2(2=+−−+mxmx的两根的平方之和最小时，实数m的值为______.第3页共7页答案：1.解析：易知方程有两个不等实根.利用韦达定理和配方法，知m=1时，两根之平方和最小值为9.（唐光明老师供题）8、对于函数21xyx=+，y的取值范围是______.答案：1(,]4−∞.解析：函数式可化得：20yxxy−+=.当0y=时，0x=；当0y≠时，由0Δ≥得：1140,4yyΔ=−≥∴≤.综合两种情形，可知y的取值范围是1(,]4−∞.（李燕娥老师供题）9、设7-31的整数部分为a，小数部分为b，则()217aab++=________.答案：10.解析：由22737-31+=，03-273+，得21-72-273,2=+==ba.所以()10712=++aba（赵英明老师供题）10、函数22()236fxxxxx=−−++−的最小值为_______.答案：6.解析：由2223060xxxx−−≥+−≥，知1332xxxx≤−≥≤−≥或或，即3x≤−或3x≥.∴()fx的定义域为(][)33−∞−∪+∞，，.∵2123yxx=−−和226yxx=+−在(]3−∞−，上都是减函数，在[)3+∞，上都是增函数.∴22()236fxxxxx=−−++−在(]3−∞−，上是减函数，在[)3+∞，上是增函数.∴()fx的最小值是(3)f−与(3)f中较小者.∵(3)23f−=，(3)6f=，∴()fx的最小值是6.（命题组供题）第4页共7页11、如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值为_________.答案：22.解析：连接BP，过C作CM⊥BD，∴BPCBPEBCESSSΔΔΔ+=，即12BE•CM=12BC•PQ+12BE•PR.又∵BC=BE，∴12BE•CM=12BE(PQ+PR)，∴CM=PQ+PR.∵BE=BC=1且正方形对角线BD=2BC=2，又BC=CD，CM⊥BD，∴M为BD中点.又△BDC为直角三角形，∴CM=12BD=22，即PQ+PR值是22．（命题组供题）12、对正整数n，记()fn为数231nn++的十进制表示的数码之和（如，10n=时，由231311nn++=，得(10)3115f=++=），则()fn的最小值为．答案：3.解析：（1）易知，231nn++为大于3的奇数，故，()1fn≠.（2）若()2fn=，则231nn++只能是首位和末位为1，其余数码为0的数，即231101knn++=+（其中k为正整数）.由23111nn++=无正整数解，知k是大于1的整数.由231101knn++=+知，2310knn+=，(31)25kknn+=×.由于n与31n+互质，31nn+。因此，2kn=，315kn+=.结合314nn+≤得，542kk≤⋅.但当k为大于1的整数时，542kk⋅，两者矛盾.因此，()2fn≠.（3）8n=时，231201nn++=，(8)3f=.所以，由（1）、（2）、（3）可得，()fn的最小值为3.（命题组供题）第5页共7页一、选择题（每小题6分，共36分）1、（A）；2、（B）；3、（B）；4、（A）；5、（C）；6、（D）.二、填空题（每小题9分，共54分）7、1;8、1(,]4−∞;9、10;10、6;11、22;12、__3___.三、解答题（每小题20分，共60分）13、二次函数qpxxy++=2的图象经过点()1-2，，且与x轴交于不同的两点()()0,,0,bBaA.设图象顶点为M，求使AMBΔ面积最小时的二次函数的解析式.解：由题意知qabpbaqpqp==+=++,-,1-24,04-2，则pq2-5-=且()qpabbaba4-4--22=+=.……………………5分又4-4,2-2pqpM，所以()()232224-814--814-421qpqpbapqABSAMB===Δ.…………10分要使AMBΔ的面积最小，只须qp4-2最小，而()ppqp2-5-4-4-22=()4420822++=++=ppp，…………………………15分所以AMBΔ的面积最小值为4，此时3,4-==qp1=ΔAMBS.故满足要求的二次函数解析式为34-2+=xxy.………………20分（赵英明老师供题）14、如图，O⊙为锐角ABC△的外接圆，直线BO和CO分别与边AC、AB交于点D、E，直线DE交ABC△的外接圆于点M、N，且AMAN=.（1）求证：2AMAEAB=⋅；（2）求证：AOBC⊥.第6页共7页证明：（1）如图，连接MB，NC，则ABMMNA∠=∠.∵AMAN=，∴AMNMNA∠=∠，∴AMEABM∠=∠.又∵MAEBAM∠=∠，∴AMEABM△∽△，∴AMAEABAM=，∴2AMAEAB=⋅.…………5分（2）仿（1）可知，2ANADAC=⋅.∴AEABADAC⋅=⋅。∴E、B、C、D四点共圆.……………………10分∴EBODCO∠=∠.又O为ABC△的外心，OAOBOC==，∴AOBAOC△≌△.………………………………15分∴ABAC=，BAOCAO∠=∠，∴AOBC⊥.………………………20分（命题组供题）15、设集合{}1232016S=，，，，⋯，求最大的正整数k，使得存在集合S的k元子集A，满足集合A中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积.解：设A为集合S的一个k元子集.考虑集合S的下列43个子集（每个子集中恰有3个数）：{}2287287S=×，，，{}3386386S=×，，，{}4485485S=×，，，…，{}4343464346S=×，，，{}4444454445S=×，，.………………5分若1973k，则由201643k−知，集合A一定包含上述43个子集中的某一个.由此可知，集合A中存在互不相同的三个数a，b，c（abc），使得cab=.也就是说，集合A不满足：集合A中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积.所以，当集合A元素个数多于1973，即1973k时，集合A不满足题意要求.第7页共7页所以，1973k≤.…………………………10分另一方面，令{}145462016A=⋯，，，，（从集合S删去2，3，4，…，44这43个数），设a，b（ab）是A中任意两个不同的数.……15分若1a=，则abb=，ab不可能等于A中第3个不同于1和b的数.若1a，则45a≥，45462070ab≥×=，显然它不在集合A中.因此，集合A满足：集合A中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积.可见，存在集合S的一个1973元子集A，满足集合A中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积.所以，正整数k的最大值为1973.………………20分（命题组供题）