2.3等差数列前N项和的公式

复习回顾(1)等差数列的通项公式:已知首项a1和公差d,则有:an=a1+(n-1)d已知第m项am和公差d,则有:an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）(2)等差数列的性质:在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q(m,n,p,q∈N),那么:an+am=ap+aq泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现问题1问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）这个问题，可看成是求等差数列1，2，3，…，n，…的前100项的和。假设1+2+3++100=x,(1)那么100+99+98++1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101++101=2x,100个101所以,1001012xx=5050.高斯探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和。有无简单的方法？探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？12321212019121(121)212s获得算法：问题3:求:1+2+3+4+…+n=?记:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+12)1(),1(2nnSnnS设等差数列a1,a2,a3,…它的前n项和是Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由等差数列的性质a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..即Sn=n(a1+an)/2下面将对等差数列的前n项和公式进行推导由此得到等差数列的{an}前n项和的公式2)(1nnaanS即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成dnnnaSn2)1(1由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。个个可求另已知其中个量：公式共涉及到23.,,,,51nnSanda知三求二（2）1+3+5+…+（2n-1）=（1）1+2+3+…+n=（3）2+4+6…+2n=上面习题的答案在以后会经常用到。n（n+1）/2n（n+1）n2=Sn==SnSn1.将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？2)1(1dnnnaSn当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数21()22nddSnan则Sn=An2+Bn令1,22ddABa㈡【说明】①推导等差数列的前n项和公式的方法叫；②等差数列的前n项和公式类同于；③{an}为等差数列，这是一个关于的没有的“”倒序相加法梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项二次函数（注意a还可以是0）例1如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为{an},其中a1=1,a120=120.根据等差数列前n项和的公式，得26072)1201(120120S答：V形架上共放着7260支铅笔。例2：在等差数列{an}中，（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn（2）由等差数列的通项公式，得14.5+(n1)0.7=32n=265.604226)325.14(26S（1）a3=-2，a8=12，求S10解：（1）a1+a10=a3+a8=105021010210)(10110aaS由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?例3:已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.求前16项的和?解:由等差数列的性质可得:a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18sn=16/2×18=144答:前16项的和为144。分析：可以由等差数列性质，直接代入前n项和公式例4等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？本题实质是反用公式，解一个关于n的一元二次函数，注意得到的项数n必须是正整数.解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列的前n项和，则有a1=－10,d=－6－(－10)=4根据等差数列前n项和公式：112()nnnsnad-=+26270,整理后得nn--=解得n1=9,n２=－3(舍去)因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是54.设该数列前n项和为54得5442)1(10nnn巩固练习1、已知a6+a9+a12+a15=192,求S202、凸n边形各内角成等差数列，公差为10º，最小内角为100º，则n等于（）（A）7（B）8（C）9（D）8或9a6+a9+a12+a15=192，a6+a15=a9+a12=a1+a20a1+a20=969609610220)(20120aaS由题意，得:解得n=8或n=9（舍）B180)2(210)1(100nnnn3.一个项数为36的数列的前四项和是21，后四项和是67，求这个数列的和。22467211naa解：39622236nS4求集合M={m|m=7n,n是正整数,且m100}的元素个数,并求这些元素的和.解:由7n100得n100／7,.7214n由于满足它的正整数n共有14个,∴集合M中的元素共有14个.即7,14,21,…,91,98.这是一个等差数列,各项的和是2)987(1414S答:集合M中的元素共有14个,它们的和为735.=7351()2nnnaaS公式11(1)(1)22nnnnnnSnadnad公式2等差数列的前n项和公式：熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用解决相关问题．小结2.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶n2dnd1nnaa性质2:(2)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S奇－S偶=,SS奇偶两等差数列前n项和与通项的关系性质4:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则nnab性质3:为等差数列.{}nSnan1nn2121nnST例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27B3.等差数列{an}前n项和的性质的应用2{}10na偶奇1例：已知等差数列中，共有项,S=15,S=12.5,求a与d。10111:10,12110921512.51021211,22SSSSSaaa偶奇偶奇解该等差数列的项数为项=nd即15-12.5=5d,解得d又即解得d3{}290,261.na奇偶例：已知等差数列中，共有2n-1项,S=S=求项数与中间项。:21,290261,29290,1012611210119nSSaaaSnnnSnn奇偶中中中奇偶解该等差数列的项数为项即又即解得项数为{},1,na奇偶1课堂练习：已知等差数列中，共有2n+1项,S=51S=42.5，a求项数及通项公式。2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90A3.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为.5例4.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且71427nnSnTn求和.55abnnab556463ab146823nnanbn等差数列{an}前n项和的性质的应用例5.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.例6.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=.10153等差数列{an}前n项和的性质的应用练习：已知在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使Sn0的最小的正整数n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值等差数列前n项和的性质511?,1,2nnSnSSnnnnnn已知等差数列的前n项和S，如何求a利用S与a的关系:a=例题讲解213.{},2nannn例已知数列的前n项和为S求这个数列的通项公式，这个数列是等差数列吗?如果是，它的首项与公差分别是什么？121nnnSaaaa解：1121(1)nnSaaan当n1时：①212)]1(21)1[(21221nnnnnssannn当n=1时：231211211sa也满足①式.1{}2.2nnaan数列的通项公式为32.2{}na是以为首项，公差由此可为的等知：列差数列数变式训练21{}1,2nannn已知数列的前n项和为S求这个数列的通项公式.当n1时：①212]1)1(21)1[(121221nnnnnssannn当n=1时：2511211211sa不满足①式.5(1)2{}12(1)2nnnaann数列的通项公式为：点评：11,(1)(1)nnnnSanSSnn已知前项和S可求出通项公式：分类讨论思想例:若数列{an}的前ｎ项和Sn满足Sn=an2+bn,试判断{an}是否是等差数列。1.{}na2nnn已知数列的前项和S=2n-23n,（1）求其通项公式a；（2）求S的最值。巩固练习nandnnasddnn2122211观察上面的式子,我们可以看出它是关于n的二次函数,从而等差数列的前n项和可以写成形如:)2(,2abnansn其中公差为将等差数列的前n项和公式写成上述形式,有利于求其前n项和的极值:a10,d0a10,d0最大值无有最小值有无nsnnsna10,d0,最小值a10,d0,最大值例6：已知数列{an}是等差数列，且a1=21，公差d=－2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。等差数列的前n项的最值问题等差数列的前n项的最值问题例7.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得11313321113111022dd∴d=－2113(1)(2)2nSnnn214nn2(7)49n∴当n=7时,Sn取最大值49.等差数列的前n项的最值问题例7.已知等差数列{an}中