推导及图示一般固有洛伦兹变换

欢迎转载，望注明出处。谢谢！1推导及图示一般固有洛伦兹变换邓晓明2015年11月30日[e-mail]摘要：给出一般固有洛伦兹变换详细的推导步骤和图示。推导出空间转动矩阵，并进行讨论。关键词：狭义相对论，一般洛伦兹变换，普遍洛伦兹变换，一般固有洛伦兹变换中国分类号：O412.1前言物理对象是客观的，引入的惯性系S与S~是主观的。根据数学处理的需要，S~系相对S系的姿态也是人为认定的。为数学上的方便，大多数情况下都选择特殊洛伦兹变换条件。但也有必须选择“无空间转动固有洛伦兹变换”或“一般固有洛伦兹变换”条件的情形。如笔者在之前文章[1]所涉及的问题。对一般固有洛伦兹变换的介绍，可参阅刘辽及郑庆璋等[2][3]书籍的相关章节。似乎仅是一种结论性简介。仅提及“空间转动矩阵”，但没有给出数学表达，更没有相应的讨论。本篇将尝试对“一般固有洛伦兹变换”给出详细的推导步骤及对应的图示，推导出“空间转动矩阵”，并进行讨论（参见附件1）。探索之作，如有错误，恳请批评指正。推导前的准备笔者之前的文章[4][5]讨论过“无空间转动固有洛伦兹变换”，是指在三维空间中两惯性系S与S~以任意相对速度常矢eev~vv，3,2,1(0-1)作相对运动时，对应的空间轴彼此平行x(e)//x~(e~)，3,2,1，即两惯性系之间没有相对转动。本篇将要讨论的“一般固有洛伦兹变换”其实质是“有空间转动固有洛伦兹变换”。参欢迎转载，望注明出处。谢谢！2见图1，所谓“有空间转动”是指在三维空间中两惯性系S与S~以任意姿态，任意相对速度常矢eev~~vv，3,2,1(0-2)作相对运动时，对应的空间轴x(e)与x~(e~)彼此不平行。即两惯性系之间存在相对转动。需要注意的是，这种相对“转动”不是力学意义上的物理转动，仅是数学推理过程中反映在几何意义上的转动。该相对“转动”分别由S和S~系的相对速度分量v和v~（等效于，依次绕3及2坐标轴旋转的角度参数，及~，~），及S~系绕速度矢量v（依次旋转后，绕1轴）相对S系的旋转角度所描述。旋转角度参数，及~，~可由(0-2)式的速度空间分量确定。参见图1，通过几何关系，我们容易得到：22211)()(cosvvv；22212)()(sinvvv；v2221)()(cosvv；v3sinv。22211)~()~(~~cosvvv；22212)~()~(~~sinvvv；v2221)~()~(~cosvv；v3~sinv。因为2322212322212)~()~()~()()()(vvvvvvv，如果设cv，cv，cv~~，3,2,1(0-3)其中c为光速。自然有2322212322212~~~。将(0-3)式cv，cv及欢迎转载，望注明出处。谢谢！3~~cv分别代入上述三角函数有22211cos；22212sin(0-4)2221cos；3sin(0-5)22211~~~~cos；22212~~~~sin(0-6)2221~~~cos；3~~sin(0-7)参见图1，为推导一般固有洛伦兹变换，我们要进行的操作是：（1）在三维空间中，分别旋转两惯性系S及S~的空间标架（初始系）x(e)及x~(e)，使空间轴1x及1~x与速度常矢v方向一致；（2）使旋转后的S~系的标架x~(e~)绕1~x轴旋转（也可以说绕v旋转），使2x与2~x，3x与3~x轴都平行，得到类似于特殊洛伦兹变换条件；（3）最终，在四维复欧氏时空中，进行特殊洛伦兹虚角旋转，得到一般固有洛伦兹变换。为了使每一步变换都可辨认，下文将每次旋转后的坐标系用不同英文字母表示。第1步参见图1及图2-(a)，将初始坐标系x及x~分别绕空间轴3x及3~x旋转及~使两系的1轴分别落在由矢量3e及v；3~e及v（参见图1）所确定的平面上，此时得到过渡坐标系y及y~。其坐标变换分别为：XRY(1-1)XRY~~~(1-2)其中欢迎转载，望注明出处。谢谢！41000010000cossin00sincosR(1-3)1000010000~cos~sin00~sin~cos~R(1-4)为旋转矩阵。过度系及初始系的坐标为：TyyyyY4321；TxxxxX4321；TyyyyY4321~~~~~；TxxxxX4321~~~~~。需要注意的是，这种旋转不是单纯的三维空间的旋转，事实上是四维复欧氏时空中的四维正交坐标系的整体行为。在三维空间中，我们可以简单地理解为分别绕空间轴3x及3~x所进行的旋转。如果拓展到四维空间，及~角所在的平面也分别正交于时间轴4x(4e)及4~x(4~e)，即在绕空间轴3x及3~x旋转的同时，也在绕时间轴4x及4~x旋转。体现在旋转矩阵(1-3)及(1-4)上，就是两个坐标对应元素为1，即两个坐标在旋转中不变，即3x=3y；3~x=3~y；4x=4~x。欢迎转载，望注明出处。谢谢！5此外，确保(1-1)，(1-2)及下文将要提及的旋转变换得以成立的先决条件为，四维复欧氏时空中的绝对矢量不变，例如时空间隔矢量不变jjjjxxee~~，4,3,2,1j。第2步参见图2-(a)及(b)，将过渡坐标系y及y~分别绕空间轴2y及2~y旋转及~，使两系的1轴都与速度矢量v重合，此时得到目标坐标系z及z~。其坐标变换分别为YRZ(2-1)YRZ~~~(2-2)与上节同理，及~角的旋转矩阵分别为10000cos0sin00100sin0cosR(2-3)10000~cos0~sin00100~sin0~cos~R(2-4)TzzzzZ4321及TzzzzZ4321~~~~~为目标系的坐标。第3步欢迎转载，望注明出处。谢谢！6参见图2-(b)，目标系z与z~的1轴共轴且与v重合。显然32zz平面与32~~zz平面平行。但一般情况下，轴2z与2~z，3z与3~z并不平行。参见图3，绕1~z轴单独旋转z~系，最终使两系的对应坐标轴平行，其坐标变换为ZRW~~(3-1)其中10000cossin00sincos00001R(3-2)为旋转矩阵。T~~~~~为w~系的坐标。第4步参见图3，坐标系z及w~与相对速度常矢v的关系，完全符合特殊洛伦兹变换条件。此时有2z2~w；3z3~w。与该两系相对应的四维系的虚角旋转变换可写为我们所熟悉的形式LZW~(4-1)其中iiiiLcos00sin01000010sin00cos(4-2)为常见的特殊洛伦兹变换矩阵。众所周知，其中iisin；icos(4-3)其几何本质为，在四维复欧氏时空中，正交系jz~（4,3,2,1j）绕2z2~w及3z3~w轴，旋转了虚角i。第5步将(1-1)式代入(2-1)式得XRRZ(5-1)欢迎转载，望注明出处。谢谢！7将(1-2)式代入(2-2)式得XRRZ~~~~(5-2)(5-2)式的逆变换为ZRRX~~~~11(5-3)将(3-1)式的逆阵代入(5-3)式WRRRX~~~~111(5-4)将(4-1)式代入(5-4)式得LZRRRX111~~~(5-5)将(5-1)式代入(5-5)式得XRLRRRRX111~~~(5-6)(5-6)式即为一般固有洛伦兹变换。第6步参见笔者前文对(0-2)式的描述，一般固有洛伦兹变换是指，在四维复欧氏时空中，一般情况下，两初始坐标系x与x~之间存在空间转动，也即两者所对应的惯性系，在三维空间中对应的坐标轴彼此不平行。设两者的坐标变换为DXX~(6-1)其中D为四维复欧氏时空中的空间转动矩阵，可由(0-2)式的速度空间分量v及v~，3,2,1，分别描述绕2（及4）及3（及4）轴的转动，由给定转角描述绕1（及4）轴的转动（后文将详细讨论）。参见图1，图2及图3，如果仅考虑纯空间转动，初始坐标系x与x~分别经过-及~-~-旋转后所得到的z与w~系的对应坐标轴（在三维空间中）彼此平行。由于两惯性系S及S~一旦选定，它们之间的相对空间旋转“角度”则为常量，不随时间和距离而变。因此，参见图3，考虑两系在原点重合时有关系WZ~，将(2-1)及(3-1)式代入得：YRZR~，再将(1-1)，(2-2)及(1-2)依次代入得欢迎转载，望注明出处。谢谢！8XRRRXRRWZ~~~~(6-2)将(6-1)代入(6-2)，整理后得111~~RRDRRR(6-3)其逆阵为111~~RDRRRR(6-4)由(6-3)或(6-4)式，可得四维复欧氏时空中的空间转动矩阵RRRRRD111~~(6-5)第7步将(6-4)式代入(5-6)式，得X~11RDRLXRR(7-1)比较(5-6)式，这里的(7-1)式即为我们最终需要的（几何意义明确的）形式，即“一般固有洛伦兹变换矩阵”等于“无空间转动固有洛伦兹变换矩阵”左乘一个“空间转动矩阵D”。参阅笔者之前文章所讨论的无空间转动固有洛伦兹变换“X~11RRLXRR”[5]，不难发现(7-1)式的变换矩阵仅多出了个空间转动矩阵D。无空间转动固有洛伦兹变换矩阵中元素的求法可由(0-4)及(0-5)式求得，具体运算不再赘述，请参阅笔者之前的文章[5]。将(7-1)式写成矩阵形式则为：43213213223232231223222222112312212214321)1(11)(1)(1)()1(11)(1)(1)()1(1~~~~xxxxiiiiiiDxxxx(7-2)或写为424/)1(~~xxiiDxxkkjkjjkj，3,2,1,kj(7-3)将(0-3)式代入(7-3)式，并注意ictx4，ticx~~4，整理后可写出其矢量形式欢迎转载，望注明出处。谢谢！9tctDt22])1[(~~xvvxvvxx(7-4)显而易见，(7-2)式中的D如果为单位阵，ID，其几何意义为，初始坐标系x与x~之间的空间没有相对转动，即在三维空间中，两系所对应的惯性系坐标轴彼此平行，(7-2)式将还原成我们所熟悉的形式---无空间转动固有洛伦兹坐标变换。完毕！关于四维复欧氏时空中“空间转动矩阵D”的详细讨论，如感兴趣，请继续阅读“参考文献”后面的附件1。参考文献[1]邓晓明.经典牛顿力学拒绝相对论改造.国科社区.国家科技成果网.2015年9月25日.=37896[2]刘辽等.狭义相对论.102-105页.科学出版社.2008年7月第二版.2011年4月第二次印刷.[3]郑庆璋等.广义相对论基础教程.110-117页.中山大学出版社.1991年12月第一版.1991年12月第一次印刷.[4]邓晓明.无空间转动的固有洛伦兹变换的一种新的推