2019届高考数学第一轮专题复习测试卷第七讲-函数的奇偶性与周期性

数学试卷第七讲函数的奇偶性与周期性一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，则f(99)＝()A．13B．2C.132D.213解析：由f(x)·f(x＋2)＝13，知f(x＋2)·f(x＋4)＝13，所以f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期函数，周期为4.所以f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3)＝13f(1)＝132.答案：C2．(2019·郑州)定义在R上的函数f(x)满足：对于任意α，β∈R，总有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝2019，则下列说法正确的是()A．f(x)－1是奇函数B．f(x)＋1是奇函数C．f(x)－2019是奇函数D．f(x)＋2019是奇函数解析：依题意，取α＝β＝0，得f(0)＝－2019；取α＝x，β＝－x，得f(0)－f(x)－f(－x)＝2019，f(－x)＋2019＝－[f(x)－f(0)]＝－[f(x)＋2019]，因此函数f(x)＋2019是奇函数，选D.答案：D3．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log12(1－x)，则函数f(x)在(1,2)上()A．是增函数，且f(x)0B．是增函数，且f(x)0C．是减函数，且f(x)0D．是减函数，且f(x)0解析：由题意得当x∈(1,2)时，02－x1,0x－11，f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝log12[1－(2－x)]＝log12(x－1)0，则可知当x∈(1,2)时，f(x)是减函数，选D.答案：D4．设f(x)是连续的偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(x)＝fx＋3x＋4的所有x之和为()A．－3B．3数学试卷C．－8D．8解析：因为f(x)是连续的偶函数，且x0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f(x)＝fx＋3x＋4，只有两种情况：①x＝x＋3x＋4；②x＋x＋3x＋4＝0.由①知x2＋3x－3＝0，故两根之和为x1＋x2＝－3.由②知x2＋5x＋3＝0，故其两根之和为x3＋x4＝－5.因此满足条件的所有x之和为－8.答案：C5．已知奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么函数f(x)在区间[－7，－3]上()A．是增函数且最小值为－5B．是增函数且最大值为－5C．是减函数且最小值为－5D．是减函数且最大值为－5解析：∵f(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称．∵f(x)在[3,7]上是增函数，∴f(x)在[－7，－3]上也是增函数．∵f(x)在[3,7]上的最小值为5，∴由图可知函数f(x)在[－7，－3]上有最大值－5.答案：B评析：本题既涉及到函数的奇偶性，又涉及到函数的单调性，还涉及到函数的最值，是一道综合性较强的题目，由于所给的函数没有具体的解析式，因此我们画出函数f(x)在区间[3,7]上的示意图，由图形易得结论．6．(2019·新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)0}＝()A．{x|x－2或x4}B．{x|x0或x4}C．{x|x0或x6}D．{x|x－2或x2}数学试卷解析：当x0时，－x0，∴f(－x)＝(－x)3－8＝－x3－8，又f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－x3－8，∴f(x)＝x3－8，x≥0－x3－8，x0.∴f(x－2)＝(x－2)3－8，x≥2－(x－2)3－8，x2，x≥2(x－2)3－80或x2－(x－2)3－80，解得x4或x0.故选B.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．(2019·江苏)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．解析：设g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝ex＋ae－x为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.答案：－18．已知函数f(x＋1)是奇函数，f(x－1)是偶函数，且f(0)＝2，则f(4)＝________.解析：依题意有f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(4)＝f(－(－3)＋1)＝－f(－2)＝－f(－1－1)＝－f(0)＝－2.答案：－29．(2019·湖北八校)设函数f(x)的定义域、值域分别为A、B，且A∩B是单元集，下列命题①若A∩B＝{a}，则f(a)＝a；②若B不是单元集，则满足f[f(x)]＝f(x)的x值可能不存在；③若f(x)具有奇偶性，则f(x)可能为偶函数；④若f(x)不是常数函数，则f(x)不可能为周期函数．其中，正确命题的序号为________．解析：如f(x)＝x＋1，A＝[－1,0]，B＝[0,1]满足A∩B＝{0}，但f(0)≠0，且满足f[f(x)]＝f(x)的x可能不存在，①错，②正确；如，f(x)＝1，A＝R，B＝{1}，则f(x)＝1，A＝R是偶函数，③正确；如f(x)＝x－2k＋1，A＝[2k－1,2k]，B＝[0,1]，k∈Z，f(x)是周期函数，但不是常数函数，所以④错误．答案：②③10．对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为________．数学试卷①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；②若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；③若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；④函数y＝f(1＋x)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．解析：f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位而得到，又f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称，故①正确；由f(x＋1)＝f(x－1)可知f(x)的周期为2，无法判断其对称轴，故②错误；f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)关于y轴对称，故f(x)为偶函数，③正确；y＝f(1＋x)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移一个单位后得到，y＝f(1－x)是由y＝f(x)的图象关于y轴对称后再向右平移一个单位而得到，两者图象关于y轴对称，故④错误．答案：①③三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a、b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，求k的取值范围．分析：(1)由f(0)＝0可求得b，再由特殊值或奇函数定义求得a；(2)先分析函数f(x)的单调性，根据单调性去掉函数符号f，然后用判别式解决恒成立问题．解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即b－1a＋2＝0⇒b＝1，所以f(x)＝1－2xa＋2x＋1，又由f(1)＝－f(－1)知1－2a＋4＝－1－12a＋1⇒a＝2.(2)由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x＋1＝－12＋12x＋1，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：数学试卷f(t2－2t)＋f(2t2－k)0等价于f(t2－2t)－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2tk－2t2，即对t∈R有：3t2－2t－k0，从而Δ＝4＋12k0⇒k－13.12．设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＜0，求证：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证明：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)设x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2，则x2－x1＞0，∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0.又∵对于任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(x)为奇函数，∴f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．13．设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足①f(x1－x2)＝f(x1)f(x2)＋1f(x2)－f(x1)；②存在正常数a，使f(a)＝1.求证：(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a.证明：(1)不妨令x＝x1－x2，则f(－x)＝f(x2－x1)＝f(x2)f(x1)＋1f(x1)－f(x2)＝－f(x1)f(x2)＋1f(x2)－f(x1)＝－f(x1－x2)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．(2)要证f(x＋4a)＝f(x)，可先计算f(x＋a)，f(x＋2a)，数学试卷∵f(x＋a)＝f[x－(－a)]＝f(－a)f(x)＋1f(－a)－f(x)＝－f(a)f(x)＋1－f(a)－f(x)＝f(x)－1f(x)＋1，(f(a)＝1)．∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝f(x＋a)－1f(x＋a)＋1＝f(x)－1f(x)＋1－1f(x)－1f(x)＋1＋1＝－1f(x).∴f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝1－f(x＋2a)＝f(x)故f(x)是以4a为周期的周期函数．