等差数列的前n项和(优秀公开课)

2.3.1等差数列的前n项和•教学目标等差数列的定义：•一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.世界七大奇迹之一：泰姬陵陵寝传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？1100•1＋2＋3＋…＋100=？高斯首尾配对求和的方法：首项与末项的和：第2项与倒数第2项的和:第3项与倒数第3项的和:第50项与倒数第50项的和:……1+100=1012+99=1013+98=10150+51=101一、引例：1＋2＋3＋…＋100=？……=50501001100S于是所求的和高斯（Gauss,C.F.,1777年-1855年）德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”.探究发现：更简便的算法12341414039141(141)412861s获得算法：1+2+3+…+41=?思考：1+2+3+…+n=?1+2+…+n-1+nn+n-1+…+2+1（n+1）（n+1）（n+1）（n+1）++++…1+2+3+…+n=(1)2nnnS倒序相加法n个123nnSaaaa12()nnSnaa1213212nnnnnSaaaaaaaa121321nnnnaaaaaaaa又121nnnnSaaaa1()2nnnaaS即①②nn123nan=a+a+a++a=S求等差数列的前项和？二、公式的推导：111121aadadand21nnnnaadadand11()2(),2nnnnnaaSnaaS即2nS1naa1naa＋1naa＋＋…＋1naa123nnSaaaa121nnnnSaaaa又①②nn123nan=a+a+a++a=S求等差数列的前项和？等差数列的前n项和的公式：1()12nnnaaS公式11,naand由于1(1)22nnnSnad公式时用公式2和已知n,时用公式1和已知n,daaan11探究发现：面积公式：12nnaaS1ananann(n-1)dna1a1nS=梯形面积=平行四边形面积+三角形面积1(1)2nnnSnad1、公式的简单应用1002155102)(11nnaanS16234412)1(21dnnnaSn根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn（1）a1=5,an=15,n=10（2）a1=1,d=2,n=4三、2、用数学解决生活问题“校校通”“校校通”工程验收2、用数学解决生活问题n1aa=500d=解：建立一个等差数列，其中设2001年投入的资金为首项，50，则：例2.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求nSdaS21101010310110daS212020201220120解：由题意得：6,41dannnnnSn2362)1(43、建立方程思想例2.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求nS1101011010()310622aaSaa①1202012020()12201222aaSaa②另解：201060aa6d14a21132nnnSandnn（）两式相减得1060d等差数列5,4,3,2，、、、前多少项的和是5？解：由a1=5,d=5－4=1，得：等差数列5,4,3,2，、、、前多少项的和是5？1051215nnnnSn5、巩固提升4、巩固提升n18naa=-4a=-18n=8dn.等差数列中，，，，求公差及前项和S•我来试一试：•1、本节课用什么方法推出等差数列的前n项和公式的？•2、从本课的学习中你有什么收获？课堂小结课堂小结1．等差数列前n项和公式2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1公式的推证用的是倒序相加法2.公式应用方程的思想•作业：•必做题：P46A组2（1）（3）,3•选做题：P46B组2想一想在等差数列{an}中，如果已知五个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个,请问:能否求出其余两个量?dnnnaaanSnn2)1211（dnaan)1(1结论：知三求二例1.已知等差数列{an}(1);,5,23,651dnSaann和求.,172,4881daSa和求15,522365nnSn解得由题意，得(2)解：(1)61,231156515dda39,172248888aaS解得由已知，得5,391848dda(2)例2.等差数列－10，－6，－2，2，…前10项和是多少？前多少项和是54?解：由a1=-10,d=-6－(-10)=4，得：5442110nnnSn令8021101010110daS，得：02762nn9n∴前9项的和是54（1）等差数列5，4，3，2，…前多少项的和是－30?（2）求等差数列13，15，17，…81的各项和15项1645变式：1.等差数列－10，－6，－2，2，…前10项和是多少？解：由a1=-10,d=-6－(-10)=4，得：8021101010110daS等差数列5,4,3,2，、、、前多少项的和是5？变式：解：由a1=5,d=5－4=1，得：1051215nnnnSn•例1、2000年11月4日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中下学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元，那么从2001年起的未来10年内，该市“校校通”工程的总投入是多少？例2：已知一个等差数列｛an｝的前10项和为310，前20项和为1220，分析：学以致用！思考：1+2+3+…+41=?1+2+…+40+4141+40+…+2+1（41+1）（40+2）（40+2）（41+1）++++…1+2+3+…+41=(411)41241个