求导法则及求导公式

九江学院理学院《数学分析》教案第1页共8页§2求导法则上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象.因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数：xxxfcossin)(1xxg2sin)(1xxxfcossin)(2)sin()(2axxgxxxfalogcos)(3xxgarcsin)(3xcxfsin)(4xxgarccos)(4一、导数的四则运算问题1设xxxfcossin)(,求)('xf.分析利用导数的定义及极限的四则运算知,)'(cos)'(sinsincos)('xxxxxf.即)'(cos)'(sin)'cos(sinxxxx一般地,有如下和的导法则：定理1（和的导数）设)(xf,)(xg在x点可导,则)()(])()([xgxfxgxf（求导是线性运算）证明令)()()(xgxfxy。时当0)()()()()()()]()([)]()([xxgxfxxgxxgxxfxxfxxgxfxxgxxfxy问题2设xaxxfsin)(,则aaxaxxfxxlncos)'()'(sin)('对吗？九江学院理学院《数学分析》教案第2页共8页分析一般地,有如下乘积的求导法则：定理2（积的导数）设)(xf,)(xg在x点可导,则)()()()(])()([xgxfxgxfxgxf（它导它不导,它不导它导,然后加起来）证明令)()()(xgxfxy。时当分子0)()()()()()()()()()())()()()(()()()()(xxgxfxgxfxxgxxgxfxxgxxfxxfxxgxfxxgxfxxgxfxxgxxfxy推论1)(')()()()(')()()()(')())'()()((0000000000xwxvxuxwxvxuxwxvxuxxwxvxu.推论2若函数)(xv在0x知可导,C为常数,则)('))'(cos(00xvCxxx.问题3设xaxfaxlog)(,求)('xf.一般地,存如下商的运算法则：定理3（商的导数）设)(xf,)(xg在x点可导,则)()()()()()()(2xgxgxfxgxfxgxf.证明令)(1)(xgxy。时当0)()()()(1)()()(1)(112xxgxgxgxxgxxgxxgxgxxgxxy)(1)()()(xgxfxgxf给出（3）.推论(1))(])([xfcxfc.(2)niiniixfxf11)()(.九江学院理学院《数学分析》教案第3页共8页(3))()()()(,)()(111xfxfxfxKxKxfnkknkknji..利用导数的四则运算法则举例.例1xxxxf95)(23,求)('xf,)0('f.例2xxylncos,求xy'.例3证明：1)'(nnnxx,Nn.例4证明：xx2sec)'(tan,xx2csc)'(cot.例5证明：xxxtansec)'(sec,xxxcotcsc)'(csc..利用导数的四则运算法则求导数举例：1．xxxfsin)(2;2．xxxxfcossin)(3;3．22)(xxf;4．xxxfcos)(2;5．xxxxf7sin)(;6．xxxxxfcos)(32;7．xtgxxxxxflnsin)(2;8．xtgxxxf3sin5)(;9．xxtgxxeyxln1sin2.二、反函数的导数问题1设xxfarcsin)(,求)('xf.定理4设)(yx在区间),(dc上连续,严格上升,在),(0dcy点可导,且0)(0y,)(00yx.则反函数)(xfy在0x点可导,且)]([1)(1)(000xfyxf.注若)(yx在),(dc可导,导数)0(0或,则反函数)(xfy存在,且)()(1)]([1)(1)(xfyyxfyxf.这里导数)0(0或可推出)(y严格上升（下降）,反函数之导数公式也可写成九江学院理学院《数学分析》教案第4页共8页dydxdxdy1.定理的证明要证00)()(lim0xxxfxfxx存在,注意到这个比式是函数)()()(00yyyyyg与)(xfy的复合,由定理条件知)(10)0()(1lim)()()()(lim00000yyyyyyyxfxfyyyy.再由反函数连续性,0xx时,0yy,由复合函数求极限定理得)(1)(lim)]([lim)()(lim000000yygxfgxxxfxfyyxxxx.例6)1,0(aaayx,求y.解yxalog,axaxayeyxayyaaaxlnlog)(log1)(,反过来,如果)(xa已知,也可求yeaayaxaxaxxalogln1log)(1)(log.例7xy,求y.解xeyln,1lnxxexy.例8xyarcsin,求y.解yxsin,。211)cos(arcsin1arcsin)(sin1)(arcsinxxxyyx例9xyarccos,求y.例10xarctgy,求y.九江学院理学院《数学分析》教案第5页共8页三、复合函数的导数问题1设xxf2sin)(,求)('xf;2）.设)sin()(xaxf,求)('xf;3）.设xxf)(,求)('xf.定理5设)(0uf与)(0xg存在,)(00xgu,则复合函数)]([)(xgfxF在0x点可导,且)()]([)(000xgxgfxF.注若)(uf的定义域包含)(xgu的值域,两函数在各自的定义域上可导,则复合函数)]([)(xgfxF在)(xg的定义域上可导,且)()]([)(xgxgfxF（怀中抱月）或xuxuyy,dxdududydxdy.定理的证明定义函数。00000,)(,,)()()(uuufuuuuufufuA)(uA在0u点连续,)()()(lim000ufuAuAuu.由恒等式,))(()()(00uuuAufuf,我们有000000)()()]([)]([)]([)()(xxxgxgxgAxxxgfxgfxxxFxF令0xx,得)()]([)(000xgxgfxF.我们引进)(uA是为了避免再直接写表达式000000)()()()()()(xxxgxguuufufxxxFxF中当0xx时,可能会出现0uu情况.例121xy,求y.解。2212212121)2()1(21)1()1(21xxxxxxy例22sinxy,求y.九江学院理学院《数学分析》教案第6页共8页解222cos2)(cosxxxxy.例3)sin(sin3xy,求y.解)cos(sincos3)(cos)cos(sin332333xxxxxxy.例4)1ln(2xxy,求y.解2222211112211)1(xxxxxxxxxy.例5||lnxy,求y.解0x时,xy1;0x时,xxxxy1)(1))ln((,0x时,xx1)||ln(.例6)2sin(lnxy,求y.解)2sin()2cos(2)2cos()2sin(2xxxxy.四、隐函数微分法若可微函数)(xyy满足方程0),(yxF,则其导数可以从0),(yxFdxd求出.一个方程0),(yxF何时能唯一决定一个可微函数)(xyy,留待日后解决,现在我们通常假定能唯一决定一个可微函数,考虑如何求出导函数问题.例7222ayx,求过点),(00yx)0(0y的切线方程.解对方程222ayx求导,心中记住)(xyy是x的函数,得022yyx，yxxy)(，在),(00yx点上,000)(yxxy,过),(00yx切线方程为)(0000xxyxyy,202000yxyyxx,即200ayyxx.五、对数微分法我们结合例子研究对数微分法九江学院理学院《数学分析》教案第7页共8页例8)0(3aaxxy,求y.解函数定义域)0,(和),(a,取对数||ln21||ln23lnaxxy,两边对)(xyy求导,采用隐函数微分法,得)(232121123axxaxaxxyy,所以axxaxxaxy3)(232.例9vuy,)(xuu,)(xvv,求y.解取对数,得uvylnln,两边求导,得uuvuvyy1ln,)ln()ln(uvuuvuuvuuvyyv.如xxy,)ln1(xxyx.六、双曲函数及其反函数之导数)(21xxeexshy,)(21xxeexchy,xchxshxthyxshxchxcthy性质122xshxchxchxshxch222xchxshxsh22yshxchychxshyxsh)(yshxshychxchyxch)(xchxth2211xshxcth2211xxexshxchexchxsh由iieieisincossincosxchxsh)(xshxch)(九江学院理学院《数学分析》教案第8页共8页xchxth21)(反双曲函数)1ln(2xxxArsh211][1)(1)(xxArshchxArshyyshxArshxArch不是单值函数,可选一个分支来研究xxxArth11ln21211)(xxArth小结一、基本求导法则1．'')'(vuvu；2．'')'(uvvuuv,')'(cucu；3．2'')'(vuvvuvu,21)'1(vv；4．反函数导数dxdududydxdy.二、基本初等函数导数公式1．0)'(c;2．1)'(xx)(R;3．xxcos)'(sin,xxsin)'(cos;4．x2sec(tan)',x2csc(cot)',xxxtansec)'(sec,ctgxxxcsc)'(csc;5．aaaxxln)'(,xxee)'(;6．axxaln1)'(log,xx1)'(ln;7．211)'(arcsinxx,211)'(arc