§定积分的应用习题与答案

1/10第六章定积分的应用（A）1、求由下列各曲线所围成的图形的面积1）221xy与822yx（两部分都要计算）2）xy1与直线xy及2x3）xey，xey与直线1x4）cos2a5）tax3cos，tay3sin１、求由摆线ttaxsin，taycos1的一拱20t与横轴所围成的图形的面积２、求对数螺线ae及射线所围成的图形的面积2/10３、求由曲线xysin和它在2x处的切线以及直线x所围成的图形的面积和它绕x轴旋转而成的旋转体的体积４、由3xy，2x，0y所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得两旋转体的体积５、计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积６、计算曲线xy333上对应于31x的一段弧的长度７、计算星形线tax3cos，tay3sin的全长８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力F（单位：N）与伸长量S（单位：cm）3/10成正比，即：kSF（k是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm，计算所作的功９、一物体按规律3ctx作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0x移到ax时，克服介质阻力所作的功１０、设一锥形储水池，深15m，口径20m，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？１１、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm和6cm，高为20cm，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力１２、设有一长度为，线密度为u的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M，试求这细棒对质点M的引力(B)1、设由抛物线022ppxy与直线pyx23所围成的平面图形为D1）求D的面积S;2）将D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积4/102、求由抛物线2xy及xy2所围成图形的面积，并求该图形绕x轴旋转所成旋转体的体积3、求由xysin，xycos，0x，2x所围成的图形的面积，并求该图形绕x轴旋转所成旋转体的体积4、求抛物线pxy22及其在点pp,2处的法线所围成的图形的面积5、求曲线422xxy在点4,0M处的切线MT与曲线122xy所围成图形的面积6、求由抛物线axy42与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积1）cos3，cos15/102）sina，sincosa，0a8、由曲线16522yx所围成图形绕x轴旋转所成旋转体的体积9、求圆心在b,0半径为a，0ab的圆，绕x轴旋转而成的环状体的体积10、计算半立方抛物线32132xy被抛物线32xy截得的一段弧的长度6/10(C)1、用积分方法证明半径为R的球的高为H的球缺的的体积为32HRHV2、分别讨论函数xysin20x在取何值时，阴影部分的面积1S，2S的和21SSS取最大值和最小值3、求曲线xy40x上的一条切线，使此切线与直线0x，4x以及曲线xy所围成的平面图形的面积最小4、半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？第六章定积分应用习题答案（A）1、1）342，3462）2ln233）21ee4）2a5）283a2、23a3、2224eea4、12，425、7128，5646、3334R7、34328、a69、kJ18.010、3732727akc（其中k为比例常数）11、kJ5.5769712、kN1437313、取y轴经过细直棒2211taaGmuFy22taaGmuFx(B)1、1）pppdypyypS322316223或20229231622322ppppdxpxxpdxpxpxS7/102）pppppdypydyypV333222152722232、10231dxxxA10222103dxxxV3、2440222cossinsincosdxxxdxxxA24224022cossinsincosdxxxdxxxV4、抛物线在点pp,2处的法线方程为：pyx23，以下解法同第一题2316pA5、MT：xy24，切线MT与曲线122xy的交点坐标为1,23，2,3122491224dyyyA6、提示：设过焦点0,a的弦的倾角为则弦所在直线的方程为axytan由axytan，axy42得两交点纵坐标为21csc2csc2yctgactgay所以dyayyctgaAyy214232222csc34csc4csc4actgaa3232csc34csc4aa32csc38a因为0当2时3csc取得最小值为1所以当2时过焦点的弦与抛物线axy42所围成的图形面积32csc382aA最小8/107、1）45cos321cos1212232302ddA2）22220241cossin21sin21adadaA8、44442222165165dxxdxxV4422222160165165dxxx9、解法同题810、提示：32132xy，32xy联立得交点36,2，36,2所求弧长212'12dxys由32132xy得yxy2'1于是1231321134222'xxxyxy于是得12598123122321221dxxS(C)1、证明：此处球缺可看作由如图阴影（图222Ryx的一部分）绕y轴旋转而成所以RHRRHRdyyRdyxV222RHRRHRyyR3323323HRRHRRR32HRH2、解：tdxxtS11sinsin22sinsintdxtxS9/10tdxxttS1sinsin+2sinsintdxtx=201sin22cos2tttt0cos22'tttS，得驻点2421tt易知002''1''tStS122maxSS，124minSS3、解：设00,yx为曲线xy40x上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为：00021xxxyy即0022xxyy得其与0x，4x的交点分别为2,00y，0022,4yy于是由此切线与直线0x，4x以及曲线xy所围的平面图形面积为：3164222004000xydxxxxyS3164200xx问题即求31642xxS40x的最小值令022321xxS得唯一驻点2x且为唯一极小值所以当2x时，S最小即所求切线即为：2222xy4、如图：以水中的球心为原点，上提方向作为坐标轴建立坐标系易知任意dxxx,段薄片在提升过程中在水中行程为r－x，而在水上的行程为2r－（r－x）＝r＋x因为求的密度与水相同，所以在水中提升过程中浮力与重力的合力为零，不做功，而在水面10/10上提升时，做功微元为dxxrxrgdW22grdxxrxrgdWWrrrr42234