人教版数学选修2-2第一章练习题及解析

人教版数学选修2-2第一章练习题及解析1．曲线y＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则切线方程为()A．y＝4xB．y＝4x－4C．y＝4x－8D．y＝4x或y＝4x－4[答案]D[解析]y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[x＋Δx3＋x＋Δx－2]－x3＋x－2Δx＝limΔx→0((Δx)2＋3xΔx＋3x2＋1)＝3x2＋1.由条件知，3x2＋1＝4，∴x＝±1，当x＝1时，切点为(1,0)，切线方程为y＝4(x－1)，即y＝4x－4.当x＝－1时，切点为(－1，－4)，切线方程为y＋4＝4(x＋1)，即y＝4x.2．设点P是曲线y＝x3－3x＋23上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为()A．0，π2∪23π，πB．0，π2∪56π，πC．23π，πD．π2，56π[答案]A[解析]设P(x0，y0)，∵f′(x)＝limΔx→0x＋Δx3－3x＋Δx＋23－x3＋3x－23Δx＝3x2－3，∴切线的斜率k＝3x20－3，∴tanα＝3x20－3≥－3.∴α∈0，π2∪23π，π.故应选A.3．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P横坐标的取值范围为()A．[－1，－12]B．[－1,0]C．[0,1]D．[12，1][答案]A[解析]考查导数的几何意义．∵y′＝2x＋2，且切线倾斜角θ∈[0，π4]，∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，∴－1≤x≤－12.4．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.[答案]－2[解析]∵f′(x)＝2x＋3f′(2)，∴f′(2)＝4＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.5．求过点(2,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．[解析]易知(2,0)不在曲线y＝1x上，令切点为(x0，y0)，则有y0＝1x0.①又y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01x＋Δx－1xΔx＝－1x2，所以y′|x＝x0＝－1x20，即切线方程为y＝－1x20(x－2)而y0x0－2＝－1x20②由①②可得x0＝1，故切线方程为y＋x－2＝0.6．若直线y＝kx是曲线y＝x3－3x2＋2x上一点处的切线，求实数k的值．[解析]设切点(x0，x30－3x20＋2x0)，∵ΔyΔx＝x0＋Δx3－3x0＋Δx2＋2x0＋Δx－x30＋3x20－2x0Δx＝(Δx)2＋3x20＋3Δx·x0－6x0－3Δx＋2，∴limΔx→0ΔyΔx＝3x20－6x0＋2，∴k＝3x20－6x0＋2，切线方程为y－(x30－3x20＋2x0)＝(3x20－6x0＋2)(x－x0)，切线过原点，∴0－(x30－3x20＋2x0)＝(3x20－6x0＋2)(0－x0)，解得x0＝0或32，则k＝2或－14.7．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．[解析](1)y′|x＝1＝limΔx→01＋Δx2＋1＋Δx－2－12＋1－2Δx＝3，所以l1的方程为：y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，y′|x＝b＝limΔx→0b＋Δx2＋b＋Δx－2－b2＋b－2Δx＝2b＋1，所以l2的方程为：y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)·(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－23，所以l2的方程为：y＝－13x－229.(2)由y＝3x－3，y＝－13x－229，得x＝16，y＝－52，即l1与l2的交点坐标为16，－52.又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，－223，0.所以所求三角形面积S＝12×－52×1＋223＝12512.8．(2014·郑州一中期中)函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2013，对任意x∈R，都有f′(x)2x成立，则不等式f(x)x2＋2009的解集为()A．(－2,2)B．(－2，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，＋∞)[答案]C[解析]令F(x)＝f(x)－x2－2009，则F′(x)＝f′(x)－2x0，∴F(x)在R上为减函数，又F(－2)＝f(－2)－4－2009＝2013－2013＝0，∴当x－2时，F(x)F(－2)＝0，∴不等式f(x)x2＋2009的解集为(－∞，－2)．9．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的取值范围为________．[答案]b－1或b2[解析]若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2.10．(2014·宁夏三市联考)若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则f(x＋1)的单调递减区间是________．[答案](0,2)[解析]由f′(x)＝x2－4x＋30得1x3，即得f(x)的单调递减区间是(1,3)，所以由1x＋13得f(x＋1)的单调递减区间(0,2)．11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1.(1)若f(x)的单调减区间为(－1,1)，则a的取值集合为________．(2)若f(x)在区间(－1,1)内单调递减，则a的取值集合为________．[答案](1){0}(2){a|a0}[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3)．(1)∵f(x)的单调减区间为(－1,1)，∴－1和1是方程f′(x)＝0的两根，∴3－2a3＝1，∴a＝0，∴a的取值集合为{0}．(2)∵f(x)在区间(－1,1)内单调递减，∴f′(x)0在(－1,1)内恒成立，又二次函数y＝f′(x)开口向上，一根为－1，∴必有3－2a31，∴a0，∴a的取值集合为{a|a0}．[点评]f(x)的单调减区间为(m，n)，则必有f′(m)＝0，f′(n)＝0或x＝m，x＝n是函数f(x)的不连续点，f(x)在区间(m，n)上单调递减，则(m，n)是f(x)的单调减区间的子集，f′(x)≤0在(m，n)上恒成立．12．求证：方程x－12sinx＝0只有一个根x＝0.[证明]设f(x)＝x－12sinx，x∈(－∞，＋∞)，则f′(x)＝1－12cosx＞0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．而当x＝0时，f(x)＝0，∴方程x－12sinx＝0有唯一的根x＝0.13．(2013·全国大纲文，21)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)当a＝－2时，讨论f(x)的单调性；(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．[解析](1)当a＝－2时，f(x)＝x3－32x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－62x＋3.令f′(x)＝0，得x1＝2－1，x2＝2＋1.当x∈(－∞，2－1)时，f′(x)0，f(x)在(－∞，2－1)上是增函数；当x∈(2－1，2＋1)时，f′(x)0，f(x)在(2－1，2＋1)上是减函数；当x∈(2＋1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)在(2＋1，＋∞)上是增函数．(2)由f(2)≥0得a≥－54.当a≥－54，x∈(2，＋∞)时，f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3(x2－52x＋1)＝3(x－12)(x－2)0，所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.综上，a的取值范围是[－54，＋∞)．14．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2[答案]A[解析]本小题主要考查导数的运算及其几何意义，直线的点斜式方程等基础知识．∵f′(－1)＝limΔx→0－1＋Δx－1＋Δx＋2－－1Δx＝limΔx→0－1＋Δx＋1＋Δx1＋ΔxΔx＝limΔx→021＋Δx＝2，∴曲线在(－1，－1)处的切线方程为y－(－1)＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.15．过点P(－2,0)作曲线y＝x的切线，求切线方程．[解析]因为点P不在曲线y＝x上，故设切点为Q(x0，x0)，∵y′＝12x，∴过点Q的切线斜率为：12x0＝x0x0＋2，∴x0＝2，∴切线方程为：y－2＝122(x－2)，即：x－22y＋2＝0.16．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有一个极大值点、两个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点[答案]C[解析]设f′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当xx1时，f′(x)0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f′(x)0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点．[点评]有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f′(x)的图象，应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．17．(2014·屯溪一中期中)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a、b∈R.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．[解析]∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∵f′(1)＝2a，∴3＋2a＋b＝2a，∵f′(2)＝－b，∴12＋4a＋b＝－b，∴a＝－32，b＝－3，∴f(x)＝x3－32x2－3x＋1，f′(x)＝3x2－3x－3，∴f(1)＝－52，f′(1)＝－3，∴切线方程为y－(－52)＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.(2)∵g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，∴g′(x)＝(6x－3)e－x＋(3x2－3x－3)·(－e－x)，∴g′(x)＝－3x(x－3)e－x，∴当0x3时，g′(x)0，当x3时，g′(x)0，当x0时，g′(x)0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，所以g极小(x)＝g(0)＝－3，g极大(x)＝g(3)＝15e－3.18．(2014·山东省菏泽市期中)已知函数f(x)＝12x2＋alnx.(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝23x3的图象的下方．[解析](1)由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f′(x)＝x－1x＝x＋1x－1x，令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，当x∈(0,1)时，f′(x)0，因此函数f(x)在(0,1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则x＝1是f(x)的极小值点，所以f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)＝12.(2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2＋lnx－23x3，则F′(x)＝x＋1x－2x2＝－2x3＋x2＋1x＝－x－12x2＋x＋1x，当x1时，F′(x)0，故f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，又F(1)＝－160，∴在区间[1，＋∞)上，F(x)0恒成立，即f(x)g(x)恒成立．因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方．