判定平行四边形的五种方法

1判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.解：连接BD交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO,BO=DO.又AE=CF,所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.分析:题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件.解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.AC图2BC图2CC图2DC图2OC图2EC图2FC图2图1图2ABCDEFA图3CDEFB2四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例4如图4，在平行四边形ABCD中，∠DAB、∠BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF∥EC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF是平行四边形.理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，∠DAB=∠BCD，所以AF∥EC.又因为∠1=21∠DAB，∠2=21∠BCD，所以∠1=∠2.因为AD∥BC，所以∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE∥CF.所以四边形AECF是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。一、两组对边分别平行如图1，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CFAFBDCE图1ABCDEF图41323(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。解：（1）选证△BDE≌△FEC证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACD=60°∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC是等边三角形∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120°又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC（2）四边形ABDF是平行四边形理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°∴AB∥DF，BD∥AF∵四边形ABDF是平行四边形。点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。二、一组对边平行且相等例2已知：如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交DE于F(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由。分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。解：（1）∵ABCD是正方形，∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE（2）∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，∵四边形ABCD是正方形∴BE′∥DG，AB=CD∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG∴四边形DE′BG是平行四边形4点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。求证：四边形DAEF是平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°∴∠DBF=∠ABC又∵BD=BA，BF=BC∴△ABC≌△DBF∴AC=DF=AE同理△ABC≌△EFC∴AB=EF=AD∴四边形ADFE是平行四边形点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。四、对角线互相平分例4已知：如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H，求证：四边形EFGH是平行四边形。图4分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。5证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，∴∠AEO=∠CGO，∵∠AOE=∠COG，OA=OC∴△AOE≌△COG，∴OE=OG同理△BOF≌△DOH∴OF=OH∴四边形EFGH是平行四边形点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。五、两组对角相等例5将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起四边形ABCD是平行四边形吗？理由。(1)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：。分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。解：（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°又∠A=60°，∠C=60°，∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C（2）四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1，∠BC1D1=∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB6所以四边形ABC1D1是平行四边形点评：（2）也可这样证明：由（1）知ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，始终有AB∥C1D1，故ABC1D1是平行四边形。判断平行四边形的策略在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：一、考虑“对边”关系思路1：证明两组对边分别相等例1如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE.求证：四边形ACEF是平行四边形.证明：∵DE是BC的垂直平分线，∴DF⊥BC，DB=DC.∴∠FDB=∠ACB=90°.∴DF∥AC.∴CE=AE=21AB.∴∠1=∠2.又∵EF∥AC，AF=CE=AE，∴∠2=∠1=∠3=∠F.∴△ACE≌△EFA.∴AC=EF.∴四边形ACEF是平行四边形.思路2：证明两组对边分别平行==ABCDEF（图1）1237例2已知：如图2，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，D在BC上，延长ED到F，使ED=DF=EB.连结FC.求证：四边形AEFC是平行四边形.证明：∵AB＝AC，∴∠B=∠ACB.∵ED=EB，∴∠B=∠EDB.∴∠ACB=∠EDB.∴EF∥AC.∵E是AB的中点，∴BD=CD.∵∠EDB=∠FDC，ED=DF，∴△EDB≌△FDC.∴∠DEB=∠F.∴AB∥CF.∴四边形AEFC是平行四边形.思路3：证明一组对边平行且相等例3如图3，已知平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点.求证：四边形ENFM是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C.又∵AE=CF，∴△ADE≌△CBF.∴∠1=∠2，DE=BF.∵M、N分别是DE、BF的中点，∴EM=FN.∵DC∥AB，∴∠3=∠2.∴∠1=∠3.∴EM∥FN.∴四边形ENFM是平行四边形.二、考虑“对角”关系思路：证明两组对角分别相等例4如图4，在正方形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点.求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE是平行四边形.证明：（1）在正方形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，∵AE=21AD，CF=21BC，∴AE=CF.∴△ABE≌△CDF.（2）由（1）△ABE≌△CDF知，∠1=∠2，∠3=∠4.∴∠BED=∠DFB.ABCDEFEABCD1234（图4）FABCDEFMN33218∵在正方形ABCD中，∠ABC=∠ADC，∴∠EBF=∠EDF.∴四边形BFDE是平行四边形.三、考虑“对角线”的关系思路：证明两条对角线相互平分例5如图5，在平行四边形ABCD中，P1、P2是对角线BD的三等分点.求证：四边形AP1CP2是平行四边形.证明：连结AC交BD于O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.∵BP1=DP2，∴OP1=OP2.∴四边形AP1CP2是平行四边形.平行四边形的识别浅析平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件总结如下。1利用定义或定理直接识别平行四边形1.1两组对边分别平行，如图1,AB∥CD,AD∥BC。1.2两组对边分别相等，如图1,AB=CD,AC=BC。1.3两组对角分别相等，如图1,∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD。1.4一组对边平行且相等，如图1,AB∥CD,AB=CD。1.5两条对角线互相平分，如图1,OA=OC,OB=OD。2利用定义和定理间接识别平行四边形2.1一组对边平行且一组对角相等，如图1,AB∥CD,∠ABC=∠ADC。证明：∵AB∥CD∴∠ABC+∠BCD=180°又∵∠ABC=∠ADC∴∠ADC＋∠BCD＝180°∴AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行)2.2一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线，如图1,AB∥CD，OA=OC。证明：∵AB∥CD∴∠BAC=∠DCA在⊿AOB和⊿CODABCDOP1P2（图5）图1ODCBA9中，∠BAC=∠DCA，OA=OC，∠AOB=∠COD∴⊿AOB≌⊿COD(ASA)∴AB=CD∴四边形ABCD是