《函数的最大值和最小值与导数》教学设计

《函数的最大值和最小值与导数》教学设计【课本教材内容分析】本节教材知识间的前后联系，以及在课堂教学中的地位与作用：导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。众所周知，函数又是中学数学研究导数的一个重要载体，因此函数问题涉及高中数学比较多的知识点和数学思想方法。导数作为研究函数的一种重要工具，在宁夏高考进入新课标实验区之后，不但成为宁夏高考文理科数学的必考题，而且也逐渐成为高考试卷中起到拔高作用的热点难题。在学习时应引起我们教师和学生的充分重视。本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法与函数导数之间的关系及其简单的应用问题，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，并且以本节知识为基础，可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．为下一节“生活中的优化问题”的教学打下坚实的基础。这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值．高中阶段对用导数求可导函数在闭区间上的最值的方法不要求作严密的理论推导，这一方法完全可以由学生通过对函数图象的观察、归纳得到，所以本节教材还有一个重要的教育功能，那就是培养学生的探索精神，体验自主学习的成功愉悦.【课堂教学三维目标】根据本节教材特点，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的三维教学目标：1．知识和技能目标（1）．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；并且能理解函数最值与极值的区别和联系（2）理解可导函数的最值存在的可能位置．（3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤．2．过程和方法目标（1）通过函数图象的直观，让学生发现函数极值与最值的关系，掌握利用导数求函数最值的方法。(2)在学习过程中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识．(3)培养学生的数学能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．3．情感态度和价值观目标(1)渗透数形结合的思想，体会导数在求函数最值中的优越性，优化学生的思维品质。(2)认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想．(3)提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．【教学重点、难点和关键点】1．教学重点基于以上对本节教材特点和教学目标的分析，将本节课的教学重点确定为：（1）培养学生的探索精神,积累自主学习的经验；（2）会求闭区间上的连续函数的最大值和最小值．2．教学难点高中年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是(1)发现闭区间上的连续函数f(x)的最值只可能存在于极值点处或区间端点处；即理解函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．(2)理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．3．教学关键点本节课突破难点的关键是：通过合作探究的方式，让学生在运动变化的过程中通过观察、比较，发现结论．【课堂教学方法选择】关于教法与学法：（1）班杜拉的社会学习原理认为：观察学习是重要的学习方法．这节课采用的第一个方法就是“观察、比较法”；（2）为了克服学生已有知识经验和阅历不足的弱点，采用多媒体辅助教学，设计了一个动画课件，让学生在函数图象的运动变化中观察、比较，发现数学本质；（3）根据新课标的教学理念，教学中要培养学生合作共事的团队精神，这节课还采用了“合作、讨论法”，让学生共同探讨、合作学习、取长补短、形成共识．【学法指导】对于求函数的最值，高中学生在高一阶段的必修一的学习已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．【教学过程】本节课的教学，大致按照“回顾复习旧知-----创设情境，铺垫导入——合作学习，探索新知——指导应用，鼓励创新——归纳小结，反馈建构”四个环节进行组织．教学环节教学内容设计意图一、【知识复习回顾创设情境，铺垫导入】知识复习回顾：1、极大值、极小值的概念：2．求函数极值的方法：练习:求函数f(x)=-x4+2x2+8的极值.解：第一步确定函数f(x)的定义域函数f(x)=-x4+2x2+8的定义域是（-∞，+∞）.第二步求函数f(x)的导数f′(x)∵f(x)=-x4+2x2+8,∴f′(x)=-4x3+4x=-4x(x2-1)=-4x(x+1(x-1).第三步求方程f′(x)=0的根由f′(x)=0,即-4x(x+1)(x-1)=0,得X1=-1,x2=0,x3=1.这三个点将（-∞，+∞）分成四部分：（-∞，-1），（-1，0），（0，1），（1，+∞）第四步确定f′(x)在每一个根的左、右区间内取值的等号，并列成表格.如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(表格略)第五步求出各极值处的函数值，就得到函数的全部极值.x=-1时，f(x)有极大值f(-1)=-1+2+8=9;x=0时，f(x)有极小值f(0)=8;x=1时，f(x)有极小值f(1)=9.3．引出课题：我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说，如果x0是f(x)的极大（小）值点，那么在点x0附近找不到比f(x0)更大（或更小）的值。但是，在解决实际问题或研究函数白璧微瑕质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小。如果x0是f(x)的最大（小）值点，那么f(x0)是不是不小（大）于f(x)在相应区间上的所有的函数值。这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值．回顾复习用导数求极值的思路和方法。通过复习,帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．这时学生经思考后会发现，以前学习过的知识还不足以解决这一新问题，从而激发起学生的学习热情．以实例引入新课，有利于学生感受到数学来源于身边的学习生活，培养学生用数学的意识。二、合作学习，探索新知如图3.3-13，观察区间[a,b]上函数y=f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？观察图象，我们发现，f(x1),f(x3),f(x5)是函数y=f(x)的极小值，f(x2),f(x4),f(x6)是函数y=f(x)的极大值。探究：你能找出函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值、最小值吗？从图3.3-14可以看出，函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是f(a)，最小值f(b).在图3.3-14、3.3-15中，观察[a,b]上的函数y=f(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？一般地，如果大区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。结合图3.3—14、图3.3-15，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值。总结：函数的极值是一个局部性概念，而最值是某个区间的整体性概念；函数的极值有多个，而函数的最大（小）值最多只有一个。极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点。问题：在区间,ab上函数()yfx的最大值，最小值怎么求？．通过对已有相关知识的回顾和深入分析，自然地提出问题：闭区间上的连续函数最大值和最小值在何处取得？如何能求得最大值和最小值？以问题制造悬念，引领着学生来到新知识的生成场景中，为新知的发现奠定基础后，提出教学目标，让学生带着问题走进课堂，既明确了学习目的，又激发起学生的求知热情．为让学生更好地进行发现，教学中通过改变区间位置，引导学生观察同一函数在不同区间内图象上最大值最小值取得的位置，形成感性认识，进而上升到理性的高度．学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，学会学习、学会合作．在整个新知形成过程中，教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者，以提高学生抽象概括、分析归纳及语言表述等基本的数学思维能力．教学环节教学内容设计意图三、指导应用，鼓励创新例1如图：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)的最大值、最小值分别是什么？分别在何处取得？yxOyxOyxOyxObabababa问题：以上分析，说明求函数f(x)在闭区间[a，b]上最值的关键是什么？归纳：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f(x)在(a,b)内的极值；（2）将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．例2求函数y=x4－2x2＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值．解法1：y′=4x3－4x，令y′=0，有4x3－4x=0，解得：x=－1,0,1当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x－2(-2,-1)－1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y′—0＋0－0＋↘↗↘↗y1345413从上表可知，最大值是13，最小值是4．思考：求函数f(x)在[a,b]上最值过程中，判断极值往往比较麻烦，我们有没有办法简化解题步骤？分析：在(a,b)内解方程f′(x)=0,但不需要判断是否是极值点,更不需要判断是极大值还是极小值．设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤可以改为：（1）求f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．解法2：y′=4x3－4x令y′=0，有4x3－4x=0，解得：x=－1,0,1．x=－1时，y=4,x=0时，y=5,x=1时，y=4．又x=－2时，y=13，x=2时，y=13．∴所求最大值是13，最小值是4．例1的教学可让学生讨论交流思考，得出结论。由问题引出用导数求最值的方法及解题思路。解决例2的方法并不唯一，还可以通过换元转化为学生熟知的二次函数问题；而这里利用新学的导数法求解，这种方法更具一般性，是本节课学习的重点．“问起于疑，疑源于思”，数学最积极的成分是问题，提出问题并解决问题是数学教学的灵魂．思考题的目的是优化导数法求最大、最小值的解题过程，培养学生的探究意识及创新精神，提高学生分析和解决问题的能力．对例题2用简化后的方法求解，便于学生将它与第一种解法形成对照，使得问题的解决更简单明快，更易于操作，更容易被学生所接受．教学环节教学内容设计意图三、指导应用，鼓励创新例3．设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。解析：f'(x)=3ax2+1，若a≥0,f'(x)0，对x∈R恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾。若a0，∵f'(x)=,此时f(x)恰有三个单调区间。∴a0且单调减区间为，单调增区间为。课堂练习：P-31课后练习（1）（2）（3）（4）例题3的主要特点是含有参变量通过该例题深化对导数知识的理解，对优秀学生是拔高。能使学生完善知识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力，是本节课学生学习的升华例题3的解决，继续巩固用导数法求闭区间上连续函数的最值，同时也让学生体会到现实生活中蕴含着大量的数学信息，培养他们用数学的意识和能力课堂练习的目的在于及时巩固重点内容，使学生在课堂上就能掌握．同时强调规范的书写和准确的运算，培养学生严谨认真的数学学习习惯．对学生完成练习情况进行评价，使所有学生都