[1]质量分别为

第六章：中心力场[1]质量分别为m1,m2的两个粒子组成的体系，质心座标及相对座R标r为：R=212211mmrmrm(1)r12rrr(2)试求总动量21ppP及总角动量21llL在R,r表象中的算符表示。1.[解]（a）合动量算符21ppP。根据假设可以解出1r，2r令21mmm：rmmRr121（３）rmmRr212（４）设各个矢量的分量是),,(1111zyxr，),(22,22zyxr,),,(zyxr和),,(ZYXR。为了计算动量的变换式先求对1x，2x等的偏导数：xXmmxxxXxXx1111（5）xXmmxxxXxXx2222（6）关于1y，2y，1z，2z可以写出与（5）（6）类似的式子，因而：)()(212^1^^2^1^xxippppPxxxx=XixXmmxXmmi)(21RiZikYijXiiP^(b)总角动量)(2211^2^1^rrillLxxrriL)(2211^=)()(2222111yzzyizzyi利用（3），（4），（5），（6）：))({(12^zZmmymmYiLx))((12yYmmzmmZ))((21zZmmymmY)})((21yYmmzmmZ=)()({1yZzYYZZYmmi)()(221yzzymmYzZymmm)()(2yZzYYZZYmm)}()(2221yzzymmYzZymmm=)}(){(yzzyYZZYi=xrRriRi)(因而rRriRiL^[2]证明rrr1],[212，],[212r（证明）第一式)(2122rr=))((21222222222zyxzyx)(21222222222zyxzyx但xzyxzyxxzyxx222222222)(22222222()(zyxxxzyxx+)222xzyx=232222222)())((zyxxxxzyx[phone])(xzyxzyxxx即2222222222xzyxzyxx=232222222)(2zyxxzyxxx同样写出关于y,z的式子，相加得：22222222{21)(21zyxzzyyxxrr+}3222zyx=rzrzyryxrx=)1(rr因是任意函数，因而第一式得证。第二式的证明：该式是矢量的恒等式，取等式左方一式的x分量并蒋它运算于任何函数，要注意2标量算符而r是矢量算符：)(21],[21222xxrx=))({(21222222xzyx)(222222zyxx}=)2(21222222zxyxxxxxzxyxxx}222222因此在出写出关于y,z的式子后有zkyjxir],[212[3]中心力场)(rV中的经典粒子的哈密顿量是)(2222rVmrlmpHr其中prrpr1^。当过渡到量子力学时，rp要换为)1(]11[21^rrirrpprrpr问prrri1是否厄米算符？rp^是否厄米算符。（解）对第一个算符取厄米共轭算符，加以变换，看其是否与原算符相等，为此利用乘积的厄米算符公式（^A^B^C）=^^^ABC若prrpr1^,则)1()1(^^^^rrpprrpr因为^p,r,r1等自身是厄米的,因而有)1(^^^rrppr要看出^rp,rp^的关系将rp^作用于任意函数：rzpryprxprrpzyx111)1(^^=)}()()({rzzryyrxxi=}2)(1{rzzyyxxri=)21(^^rprr即rppr2^^，因而rp^不是厄米算符。因为^^rrpp利用以上结果，或者直接对^rp取厄米共轭式，都证明rrpp^因此可认为rp^是厄米的，证明在后面，但是关于这问题学术上有争论，因为它还需要满足另一些条件(Liboff)。CfRLLiboff:AmericanJournalofPhysics976(1973)]11[21)(^^^^^rrpprrpr=^^^^^^)1()1((21prrrrp=^^^^^]11[21rpprrrrpCfAMessian:QuantumMecnanicsP346(1961)[4]经典力学中22222)()(prprprl在量子力学中此式是否成立？在什么条件下此式成立？（解）)()()(^^^^2^^prprpr=)()(^^^^^^^^yxyxpzpypzpy+)()(^^^^^^^^xxxxpxpzpxpz+)()(^^^^^^^^xyxypyyxpypx=)(^2^2^^^^^^^^^2^2yzyyxxpzpypzpzpypy+)(^2^2^^^^^^^^^2^2zxzzxxpxpzpxpxpzpz+)(^2^2^^^^^^^^^2^2xyxzyypypxpypypxpx=)(^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2xyzxyxpypxpxpzpzpyxyyxpipyzpipzy^^^^^^^)()(~206~物83—309蒋xyzxpipyxpipxz^^^^^^^^)()(yyyxpipyxpipxy^^^^^^^^)()(最后一式加上下述这个等于零的式子：^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2zyxyxpzpypxzpypx得：^^2^^2^2^2^^2)()()()(priprprpr因此经典角动量平方公式与量子力学的不相同，只有=0才相同。[5]求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式。利用所得结果，计算2xp。用x表象中的氢原子波函数计算2x,并验证测不准关系式。（解）本题是三维问题，氢原子基态波函数用座标表象时写作：arear231),,(（1）但22ea是玻尔半径，将（1）代入三维的座标，动量波函数变换式，此式是：xderphrpi3^)()2(1)(23(2)为使计算简单，可选择z轴与动量p的瞬时方向重合，这样cosprrp~207将（2）中的)(r用（1）式代入，进行积分，积分的次序是，，r：riprareapcos223)2(1)(ddrdrsin2=riprardrrdea2cos)sin()2(123=rdreeipraiprariprarr0)()2(123=rdreeipaiprariprar)()2(123=})(1)(1{)2(12223ipariparipa=2222)()2(23paa（3）其次为了验证氢原子的测不准关系，需要计算座标动量的平均值，计算与座标有关的平均值时，用)(r为波函数，反之计算动量平均值时，可用动量波函数)(p：测不准关系的验证，是通过一个指定方向（如x轴）的分量间关系：rarearxdrx22221)(0sin)cossin(2ddrdrr~208~物83–309蒋rardxrx222221)(ddrdrrearsincossin22222=202030422cossin1dddrrearar=ddrrearar)sin4343sin(100423d)2cos2121(20=25368)2(!41aaa(4)在计算动量有关平均值时，可采用动量相空间的球面极座标参考系，设动量相空间直角坐标为xp，yp，zp则球面极座标用lllr,,表示，prlllxppcossinllyppsinsinlzppcos2532)2()(arppplxxlllllrddpdppaplllsincossin)(2222=042223253)()2(rpadppa202cossinllddll（5）~209~lxxrdppp3222)(=042224253)()2(rpadppalllldd20203cossin(6)与p有关的积分可用替代tgap入(6)式的第一道积分，得：202435042224cossin1)(dapadpp=2035)26cos4cos22cos1(161da=35164a代入（6）得：0253352)3sinsin3(418164lllxdapllld20)2cos1(21=2202233cos31cos332aall代入测不准关系式：2222)()(xxxppxxpx233aa[6]在动量表象中写出氢原子的能量本征方程式，并证明角动量的各个分量均为守恒量。（解）（一）建立动量表象的能量本征方程式，势能rerV2)(为此先写下座标表象的薛氏方程式（直角坐标还是球面极座标不分）：)()()(2222rErrer遍乘rpie23)2(1，并对座标积分：xdrerpi322)()2()2(123xdrerrpi3)(1)2(123xdreErpi3)()2(23（1）等号左方第一积分用二次分部积分中的)(r加以下述福里哀变换，就得到动量表象的能量本征方程：lprpipdper3)()2(1)(23（2）得：)()(),()(232pEpdpppGppllpl（3）式中xdereppGrppill3)(221)2(),(（4）（二）核),(lppG的计算：先作（4）式类似的计算，假设re2是个座标表象的波函数，它的~211~相应的动量表象函数是)(pG，则正逆两种变换是：xderepGrpi3221)2()(（5）pdepGreprpi32)()2(123（6）将拉普拉斯算符2222222zyx作用于两边