平面的基本性质与推论(上课用)

§1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论学习目标1.结合问题与实例，让学生直观感知，认识平面的基本性质；2.引导学生使用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理；3.组织学生动手操作，理解公理的三个推论4.通过对平面基本性质的学习，让学生认识我们所处的世界是一个三维空间，培养学生的辩证唯物主义世界观重点：对平面的基本性质及其推论的理解和应用。难点：三种语言的转化运用CompanyLogo平面的特征1平面的画法2平面的表示3复习：a.平面在空间是无限延展的；b.平面不能讲大小和厚度。我们画出平面的一部分表示平面，通常画平行四边形来表示平面。a.通常用字母α、β、γ等表示；b.用平行四边形对角线上的两个大写字母表示。αβCDAB平面有哪些特征？怎样画平面？如何表示？一、用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：ABa点A在直线a上：记为：A∈a点B不在直线a上：记为：B∈a点A在平面α内：记为：A∈α点B不在平面α上：记为：B∈αABα(1)点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系：(3)直线与平面的位置关系：直线a上的所有点都在平面α上，称直线a在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：αa直线a与平面α只有一个公共点A时，称直线a与平面α相交。记为：a∩α＝AαaαAaαa直线a与平面α没有公共点时，称直线a与平面α平行。记为：a//α平面的基本性质把一根木条固定在墙面上至少需要几根钉子?问题一公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。αlAB桌面αAB观察下列图形，你能得到什么结论？公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.图形语言：AABB直线符号语言：公理1可以帮助我们解决哪些几何问题？⑴判定直线或点是否在平面内；⑵检验平面.CompanyLogo问题二CompanyLogo•经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．即不共线的三点确定一个平面。（如图）过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的平面也可以表示为平面ABC公理2CompanyLogo有且只有一个的含义:至少有一个“只有一个”至多有一个“有”说明图形是存在的说明图形是唯一的CompanyLogo公理2:(不共线的三点确定一个平面)有什么作用？是确定平面的依据思考推论1公理Aa经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.baabABC2的推论：应用:过空间中一点可以做几个平面？过空间中两点呢？三点呢？结论：过空间中一点或两点可以做无数个平面，过空间中不共线的三点只能做一个，否则有无数个。CompanyLogo将一个三角板的一个顶点放在桌面上，其它两个顶点离开桌面，那么三角板所在的平面与桌面所在的平面只有一个公共点吗？为什么呢？问题三公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.图形语言：符号语言：（没有特别说明的“两个平面”以后均指不重合的两个平面.）PlPlP且如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线.一判定两个平面相交：即如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面相交；二判定点在直线上：即点若是某两个平面的公共点，那么这点就在这两个平面的交线上.基本性质3作用有三：三.画交线：两平面两个公共点的连线就是它们的交线Plβα相交平面的画法：在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。思考与讨论:两个平面能将空间分成几部分?3或4两个平面相交1342132两个平面平行三个平面能将空间分成几部分?13244678直线不共面。（5）两两相交的三条则α与β重合。公共点，有三个不在一直线上的（4）平面α与平面βα.平面α，则a直线a，点A（3）若点A条直线确定一个平面。（2）经过同一点的三面。（1）三点确定一个平：判断下列命题是否正确（×）（×）（×）（√）（×）当堂检测。DB与平面ABC（2）平面AD；DD与平面BC（1）平面A两平面的交线：中，画出下列DCB在长方体ABCD－A111111111111ABCDA1B1C1D1OABCDA1B1C1D1EF当堂检测1.判断下列命题是否正确(1)如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面．()(2)经过一点的两条直线确定一个平面．()(3)经过一点的三条直线确定一个平面．()(4)平面和平面交于不共线的三点A、B、C.()(5)矩形是平面图形.()×√××√abcA2.如图,平面,,,且=a,=b,=c,ab=A.求证:A∈c.∩∩∩∩CompanyLogo3、下面的集合语言描述的是一个空间图形.ACABlAl,,,请你回答：（1）的含义是:()平面与平面的交线是l(2)的含义是:()点A在交线l上(3)的含义是:()直线AB在平面内(4)的含义是:()直线AB在平面内请你用图形来表示上面的关系式：BACl1.空间中点、线、面位置关系的图形及符号表示；2.平面的基本性质(性质1，2,3)及其用途.3.三个推论的应用（共点、共线、共面问题）．,_)1(1A_A,_)2(1B_D正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面，分别记作，试用适当的符号填空．CBBACA1111,,、、)3()4(,__)5(11BA_11BA练一练11BA1BB（6）平面A1C1CA∩平面D1B1BD=A1B1C1D1O1ABCDOoo1例1、两两相交于不同点的三条直线必在同一个平面内ABC已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C求证：直线AB，BC，AC共面.要证各线共面，先确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内．图形符号语言文字语言(读法)AaAaAaAaAAAAbaAabA点在直线上点不在直线上点在平面内点不在平面内直线a、b交于点A一、点、线、面的基本位置关系（1）符号表示：（2）集合关系：点A、线a、面α,A,aA,a图形符号语言文字语言(读法)a直线a在平面内a直线a与平面平行aAaA直线a与平面交于点l平面与相交于直线la//a